1、第四单元 三角形,课时 23 直角三角形与勾股定理,直角三角形的性质 直角三角形的判定,考点自查,1.直角三角形的两个锐角 . 2.在直角三角形中,30角所对的直角边等于 . 3.直角三角形 等于斜边的一半. 4.勾股定理:直角三角形两直角边长a,b的平方和等于斜边长c的平方,即 . 5.常见的勾股数: (1)(3,4,5),(6,8,10),(3n,4n,5n)(n是正整数); (2)(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41), (3)(8,15,17),(12,35,37),互余,斜边的一半,斜边上的中线,a2+b2=c2,考点自查,1.有一个角是 的三角形是直角三角形.
2、2.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 3.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c(c为最大边长)有关系 ,那么这个三角形是直角三角形.,直角,a2+b2=c2,考点自查,将一个命题的题设和结论交换位置得到一个新的命题,这两个命题是互逆的命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个命题就是它的逆命题.如果原命题是定理,它的逆命题也成立,那么这个逆命题可以叫做这个定理的逆定理.,1.已知:如图23-1,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距 ( )A.25
3、海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里,对点自评,图23-1,D,2.图23-2中字母A所代表的正方形的面积为(图中数据表示它所在正方形的面积) ( )A.4 B.8 C.16 D.64,图23-3,答案 D,解析 根据勾股定理以及正方形的面积公式知,以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积,所以SA=289-225=64.,A.6 B.4 C.7 D.12,图23-3,答案 A,4.在等腰三角形ABC中,AB=AC= 5 cm,BC=6 cm,则BC边上的高AD= .,答案 4 cm,5.一木工师傅做了一个长方形桌面,量得桌面的长为60 cm,宽为
4、32 cm,对角线长为68 cm,则这个桌面 .(填“合格”或“不合格”),答案 合格,6.如图23-4,是一块地的示意图.已知AD=8m,CD=6m,ADC=90, AB=26 m,BC=24 m,则这块地的面积为 m2.,图23-4,答案 96,图23-5,答案 2,解析 如图,过点A作ADBC于D. 在RtADB中, B=45,AD=BD. BD2+AD2=AB2, 2AD2=AB2,2AD2=2,AD2=1. 解得AD=1(负值舍去). 在RtADC中,C=30, AC=2AD=2.,对点自评,【失分点】受思维定势影响未分类讨论;混淆勾股定理及其逆定理.,B,C,6或10,例1 在Rt
5、ABC中,C=90,若BC=5,AC=12,则AB= .,拓展 2016柳州 如图23-6,在ABC中,C=90,则BC= .,23-6,13,4,例2 直角三角形的两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为 .,拓展2 已知RtABC中,C=90,若BCAC=34,AB=10 cm,则RtABC的面积是 .,答案 A,24 cm2,例3 下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是 ( ) A.4,5,6 B.2,3,4 C.11,12,13 D.8,15,17,拓展 三角形的三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于 .,D,答案 2.5,例4 下列三角形: ABC中,C=
6、A-B; ABC中,ABC=123; ABC中,abc=345; ABC中,三边长分别为9,40,41. 其中是直角三角形的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,拓展 已知a,b,c为ABC的三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则ABC的形状为 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形,D,D,例5 如图23-8,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处.已知CE=3,AB=8,求BF的值.,图23-8,解:由折叠的性质,知AD=AF,DE=EF=8-3=5. 在RtCEF中,EF=5,CE=3,由
7、勾股定理,可得CF=4. 设AD=AF=x,则BC=x,BF=x-4. 在RtABF中,由勾股定理,可得82+(x-4)2=x2. 解得x=10.故BF=x-4=6.,拓展1 如图23-9,将矩形ABCD沿EM折叠,使顶点B恰好落在CD边的中点N上,若AB=6,AD=9,则五边形ABMND的周长为 ( )A.28 B.26 C.25 D.22,图23-9,答案 A,解析 根据折叠可知BM=MN,设BM=x,则MN=x,MC=9-x. N为CD中点,CN=3.在RtCMN中,根据勾股定理得,x2=(9-x)2+32,解得x=5, 五边形ABMND的周长为6+5+5+3+9=28,故选A.,拓展2
8、 将一根24 cm长的筷子,置于底面直径为15 cm,高为8 cm的圆柱形水杯中,如图23-10所示.设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是 .,图23-10,答案 7h16,拓展3 2015柳州 如图23-11,在ABC中,D为AC边的中点,且DBBC,BC=4,CD=5. (1)求DB的长; (2)在ABC中,求BC边上的高,图23-11,解：(2)如图,过点A作AEBC,交CB的延长线于点E. DBBC,AEBC,DBAE. AD=DC,DB是AEC的中位线. AE=2DB=23=6.故在ABC中,BC边上的高为6.,答案 A,拓展 下列命题为真命题的是 ( ) A.有两边
9、及一角对应相等的两个三角形全等 B.方程x2-x+2=0有两个不相等的实数根 C.面积之比为14的两个相似三角形的周长之比是14 D.顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形,D,教材母题人教版八下P24练习T2 如图23-12,图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12,求最大正方形E的面积.,图23-12,解:最大正方形E的面积等于正方形A,B,C,D的面积之和,即为122+162+92+122=625.,拓展1 如图23-13,以直角三角形的三边a,b,c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是 ( ),A.1 B.2 C.3 D.4,图23-13,D,拓展2 2018泸州 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图23-14所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( ),A.9 B.6 C.4 D.3,图23-14,D,
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