1、江苏省南京市 2019 届高三二模考前模拟测试数 学 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须
2、加黑、加粗。一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知 ， ，则 = 0,246A2,34BBA2. 若复数 z 满足 2i(1 i)(i 为虚数单位) ，则 z_ z 3. 一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 10 000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图所示 )为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这 10 000 人中用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2 500，3 500)(元/月)收入段应抽出_人4. 函数 的定义域是_123xf5.根据如图所示的伪代码可知，输出的结
3、果 S 为_.6.在区间 上随机取一个数 ，则 的值介于 到 之间的概率为=_.1,xcos20127. 已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 l： ，且它2:1(0,)xyCab210yx 的一个焦点在直线 l 上，则双曲线 C 的方程为 8. 已知正四棱锥底面边长为 4 ，体积为 32，则此正四棱锥的侧棱长为2_.9. 在平面直角坐标系 中，已知圆 与直线 相交xOy2:810Cxym210xy于， 两点若 为等边三角形，则实数 的值为 ABABC10. 已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 DE3EF ，则 的值为
4、 AFBC11. 记等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ，且数列 也为等差数列，则anS13anS= 112. 已知函数 fx满足 12ffx，当 ,3时， ln.fx，若在区间1,3上，函数 恰有一个零点，则实数 a的取值范围是 afg)(13.已知在 中， 分别为三个内角 的对边，若 ，则ABC ,bc,ABCtn2taAB的最大值为_.bca14. 已知函数 若对任意实数 ，总存在实数 ，使得 成2e()ln0xaf， ， k0x0()fxk立，求实数 的取值集合为 a二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15.
5、（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 中， ，点 D 在 AB 上，点 E 为 AC 的中点，且PABCBC 平面 PDE/（1）求证： 平面 PBC；/DE（2）若平面 PCD平面 ABC，求证：平面 PAB平面 PCD16. （本小题满分 14 分）已知函数 ()sin2cosfxmx 0m的最大值为 2（1 ）求函数 ()f在 0，上的单调递减区间；（2 ） ABC 中， ()()46sin4fAfBAB，角 A，B，C 所对的边分别是a，b ，c，且 C=60， 3c，求 ABC 的面积17. （本小题满分 14 分）如图，某城市有一个边长为 百米的正方形休闲广场，广场中间阴影部分是
6、一个雕塑4群. 建立坐标系（单位：百米） ，则雕塑群的左上方边缘曲线 是抛物线AB的一段. 为方便市民，拟建造一条穿越广场的直路 （宽24(13,0)yxy EF度不计） ，要求直路 与曲线 相切（记切点为 ） ，并且将广场分割成两部分，EFABM其中直路 左上部分建设为主题陈列区. 记 点到 的距离OC为 （百米） ，主题陈列区的面积为 （万平方米）.mS（1）当 为 中点时，求 的值；MEF（2）求 的取值范围.S18. （本小题满分 16 分）已知 依次满足(2,0)(,ABCD点 、 12,().ACDABC（1）求点 的轨迹；（2）过点 作直线 交以 为焦点的椭圆于 两点，线段 的中
7、点到 轴的lAB、 MN、 y距离为 ，且直线 与点 的轨迹相切，求该椭圆的方程；45D（3 ）在（2 ）的条件下，设点 Q的坐标为 (1,0)，是否存在椭圆上的点 P及以 Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线 都相切，如存在，求出 点坐标及圆的方程，如,PAB不存在，请说明理由19. （本小题满分 16 分）设数列 的各项均为正数.若对任意的 ，存在 ，使得 成nan*Nk*22nknka立，则称数列 为“J k型”数列（1）若数列 是“J 2型”数列，且 ， ，求 ；na28a12na（2）若数列 既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列 是等比数n na列.20. （本小题满分
8、 16 分）已知函数 ，并设 ，2,fxbcRxfFe（1）若 图像在 处的切线方程为 ，求 、 的值；F00xybc（2）若函数 是 上单调递减，则x, 当 时，试判断 与 的大小关系，并证明之；0fx2c 对满足题设条件的任意 、 ，不等式 恒成立，求b22fMcfb的取值范围M数学(附加题 )本卷共 4 小题，每小题 10 分，共计 40 分请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出文字说明、证明过程或演算步骤21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）设数列
9、,nab满足 1123,2nnnab，且满足 4nnaMb，试求二阶矩阵 M。B选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）过点 作倾斜角为 的直线与曲线 交于点 若点 恰为弦10(,)2P21xy,MNP的中点，求直线的方程； 求 的最小值及相应的 的值MNPMN C选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）已知正数 ， ， 满足 ，求证： abc1a(2)()27abc【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22 （本小题满分 10 分）如图，已知长方体 ， ，直线 与平面 所成1ABCD12,ABBD1AB角为 ，
10、垂直 于点 ， 为 的中点.30EF1（1 ）求直线 与平面 所成角的正弦值；（2 ）线段 上是否存在点 ,使得二面角 的余弦值为 ？若存在，确定1PBP35点位置；若不存在，说明理由.P23 （本小题满分 10 分）已知各项均为正数的数列 满足: .na1()2naNEFD1C1B1A1DCBA（1）若 ,求 的范围；12()0a1a（2）设 表示 两数中较大的数.试证明：对任意的 ，都有mx,b、 nN.1an江苏省南京市 2019 届高三二模考前模拟测试数 学 参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 2. 3. 40 4
11、. 5. 14 6. 7. 2,41i )(3)2， ， 132150yx8. 5 9. 10. 11. 63 12. 16lnea或 13. 14. 0e二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15. 证明：（1）因为 BC 平面 PDE， BC 平面 ABC，平面 PDE 平面 ABC=DE ，/所以 BCDE. 3 分因为 DE 平面 PBC，BC 平面 PBC，所以 平面 PBC 6 分/DE（2）由（1）知，BCDE 在ABC 中，因为点 E 为 AC 的中点，所以 D 是 AB 的中点 因为 ，所以 ， 9AC
12、BAC分因为平面 PCD平面 ABC，平面 PCD 平面 ABC CD ， 平面 ABC，AB则 AB 平面 PCD 12 分因为 AB 平面 PAB，所以平面 PAB平面 PCD 14 分16. 解：（1 ）由题意， ()fx的最大值为 2m，所以 2=2分而 0m，于是 ， ()sin()4fx4 分()fx为递减函数，则 满足 32+2+kk Z，即 52+44kk Z6 分所以 ()fx在 0，上的单调递减区间为 4， 7 分（2）设ABC 的外接圆半径为 R，由题意，得 32=2sini60cRC化简 ()()46sin4fAfBAB，得sin26sin9分由正弦定理，得 26Rab
13、， 2ab 由余弦定理，得 29，即 2390 11 分将式代入，得 230ab解得 3ab，或 32ab（舍去） 13 分1sin2ABCS414 分17. 解：（1） 点坐标为M,m曲线 方程为 213yx，切线方程为 1yx xm则点 坐标分别为 ，EF、 0,E4,F因为 为 中点，所以 ，即M+3所以点 坐标分别为 ，EF、 40,3E2,9F此时 .5 分132128=()97S（2）由（1）知点 坐标分别为 ，EF、 0,Em4,F因为 ，所以244FxmFx又 ，所以直路 左上部分为0EyEFCE，11481622SCFm13m令 ，则 ，设t13t32Sftt2642fttt
14、当 时， ；当 时，413t0ft3t0ft所以 maxax412837Sftf因为 199(3)(1)22ff所以 的取值范围为 .12 分S348(,7答：（1）当 为 中点时， 的值为 ；MEFS12（2） 的取值范围为 14 分S9348(,2718. 解：（1）设 00(,)(,(,)(4,0).CxyDACxyAB00 2(3,)(2,),2AD则. 3 分22200()4,1.Cxyxy代 入 得所以，点 的轨迹是以原点为圆心，1 为半径的圆。. 4 分D（2 ）设直线 的方程为 l(2).ykx椭圆的方程 . 5 分221(4);aa由 与圆相切得： . 6 分l 2,.31k
15、将代入得： ，222242(4) 0akxaka又 ，可得 ，213k22423()0有 ， ， . 221, 3(4)ax212435ax28a . 9 分2.84y椭 圆 方 程 为（3 ）假设存在椭圆上的一点 ),(0xP，使得直线 与以 Q 为圆心的圆相切，,PAB则 Q 到直线 的距离相等 , ,AB2,(,0)： )2(00yx P： x . 11 分20202001 )(|3)(| dyyxd. 12 分化简整理得： 848x 点在椭圆上， 20y解得： 20x 或 0（舍） 时， y， 1r， .15 分 椭圆上存在点 P，其坐标为 )2,(或 ),(，使得直线 21,PF与以
16、 Q 为圆心的圆 )1(2x相切 16 分19. 解：（1）由题意，得 ， ， ， ，成等比数列，且公比 ，2a468a1382aq所以 4 分12nnq（2）证明：由 是“ 型”数列，得na4J， ， ， ， ， ，成等比数列，设公比为. 6 分15913721a由 是“ 型”数列，得na3J， ， ， ， ，成等比数列，设公比为 ；147103a1， ， ， ， ，成等比数列，设公比为 ；2a581a4 2， ， ， ， ，成等比数列，设公比为 ；369125 3则 ， ， 4313at431725at43219at所以 ，不妨记 ，且 1212312343t分于是 ，(32)1132kk
17、kaa，2(31)223315111kkkkkta ，31323339111kkkkkaat所以 ，故 为等比数列1631nnn分20. 解：（1）因为 ，所以 ，2xbcFe2xbcFxe2 分又因为 图像在 处的切线方程为 ，Fx00y所以 ，即 ，解得 ， 4 分11cbbc（2）因为 是 上的单调递减函数，所以 恒成立，Fx,0Fx即 对任意的 恒成立， 6 分0bcxR所以 ，所以 ，即 且242244cbbcb，1c令 ，由 ，知 是减函数，21gxfxcbxc20bcgx故 在 内取得最小值 ，又 ，0,0g所以 时， ，即 10 分xgx2fxc 由知， ，当 时， 或 ，0c
18、bcb因为 ，即 ，解得 ， 或 ，所以24b2422b，fx而 ，2222fcbcbcbcb所以 或 ，8f0不等式 等价于 ，22fcMfb2fcbMc变为 或 恒成立， ， 12 分80AR当 时， ，即 ，所以不等式 恒成立等价于bcb20c22fcfb恒成立，等价于 ，14 分2ffM2maxfcbM而 ，221fcfbcbcbc因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，cb1c0212bc所以 ，所以 16 分232ffcb32M21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）解：依题设有： 12
19、30nnabab令 230A，则 4MA2 12044MA2690110 分B选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）解：设直线为 ，代入曲线并整理得10cos()2inxtty为 参 数23(1sin)(10cos)02tt设 分别对应与 ， ，则 ， 4 分,MN1t2122cosint1223sint若点 恰为弦 的中点，则 ， P1220sit此时，直线的方程为 7 分0x ，1223sinPMNt当 时，即 ， 的最小值为 ，此时 10 分2sinPMN342C选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）解： (2)()abc(1)()(1)abc4分33abc
20、327（当且仅当 时等号成立） 101abc分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22解：由 , 得 与面 所成角为 ，1ADB面 BD1A03DBA,23,B由 1AE（1 ）以 为正交基底建立平面直角坐标,DA系，则 231(0,)B(2,0)F(1,(0,),(,0)2AE， ，设面 的一个法向量为3,ED()nxyz2(,0),(1,)3BBF(,3)0xynz3 分 EFD1C1B1A1DCBA1325cos,AEn答： 与面 所成角的正弦值为 5 分 BDF（2 ）令 ，则11,0,CP 23(,1)P设设面 的一个法向量为
21、，BD1(,)nxyz23(,1)BP7 分 1230(,32)xyz1223cos, 554()51n化简得 9 分 2 3480或10答：存在点 ，为 的中点. 10 分 P1CD23解：（1） ，因为 ，即12a12()0a113()02a易解得 （3 分）19（2）i：当 时，显然 恒成立，所以 .（4 分）1=ana1max,=nii：当 时， ，112且 112 2+0aa所以 21假设当 时，有(,)nkN1ka则 112kka且 111 2+2+0k kk aa即 对 恒成立，所以 .（7 分）naN1mx,=niii：当 时， ，1012a且 112 +02aa所以 12假设当 时，有(,)nkN1ka则 112kka即 对 恒成立，所以nN1max,=n综上，对任意的 ，都有 （10 分）1,na
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