1、圆的有关计算与证明解答题 1.ABC 的内切圆O 与 BC， CA，AB 分别相切于点 D、E、F ，且 AB=11cm，BC=16cm，CA=15cm，求AF、BD、CE 的长？2.如图，在 44 的方格纸中（共有 16 个小方格），每个小方格都是边长为 1 的正方形O、A、B 分别是小正方形的顶点，求扇形 OAB 的弧长，周长和面积（结果保留根号及 ）3.如图,直线 y= 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点 ,圆心 P 的坐标为(1,0),圆 P 与 y 轴相切于点 O.若将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相交时,求横坐标为整数的点 P 的个数.4.如图所示，已知 F
2、 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点， A 是弧 BF 的中点，ADBC 于点 D，求证：AD= BF5.如图，在ABC 中，BE 是它的角平分线，C=90，点 D 在 AB 边上，以 DB 为直径的半圆 O 经过点 E，交 BC 于点 F （1 ）求证：AC 是O 的切线； （2 ）已知 sinA= ，O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积 6.如图，已知 是 的外角 的平分线，交 的延长线于点 ，延长 交 的外接圆于点 ，连接 ， （1 ）求证： （2 ）已知 ，若 是 外接圆的直径， ，求 的长7.已知：如图，在ABC 中，AB=BC=10，以 AB 为直径作 O 分别交 AC
3、，BC 于点 D，E ，连接 DE 和 DB，过点 E 作 EFAB ，垂足为 F，交 BD 于点 P（1 ）求证：AD=DE ； （2 ）若 CE=2，求线段 CD 的长； （3 ）在（2 ）的条件下，求DPE 的面积 8.如图，AB 是半圆 O 的直径，AD 为弦，DBC=A（1 ）求证：BC 是半圆 O 的切线； （2 ）若 OCAD ，OC 交 BD 于 E，BD=6 ，CE=4 ，求 AD 的长 9.如图 1，在正方形 ABCD 中，以 BC 为直径的正方形内，作半圆 O，AE 切半圆于点 F 交 CD 于点 E，连接OA、OE （1 ）求证：AOEO； （2 ）如图 2，连接 DF
4、 并延长交 BC 于点 M，求 的值 10.如图，AD 是 O 的切线，切点为 A，AB 是O 的弦过点 B 作 BCAD，交O 于点 C，连接 AC，过点 C 作 CDAB，交 AD 于点 D连接 AO 并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且BCP=ACD （1 ）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由； （2 ）若 AB=9，BC=6求 PC 的长 11.如图，点 A 在O 上，点 P 是O 外一点，PA 切O 于点 A，连接 OP 交O 于点 D，作 ABOP 于点C，交 O 于点 B，连接 PB （1 ）求证：PB 是O 的切线； （2 ）若 PC=9， AB=
5、6 ， 求图中阴影部分的面积；12.如图，AB 是O 的直径，过点 A 作O 的切线并在其上取一点 C，连接 OC 交O 于点 D，BD 的延长线交 AC 于 E，连接 AD （1 ）求证：CDECAD ； （2 ）若 AB=2，AC=2 ，求 AE 的长 13.如图，AB 是O 的直径， C 是O 是一点，过点 B 作 O 的切线，与 AC 延长线交于点 D，连接BC， OE/BC 交O 于点 E，连接 BE 交 AC 于点 H（1 ）求证：BE 平分ABC ；（2 ）连接 OD，若 BH=BD=2，求 OD 的长14.如图，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（2，8
6、），且与 x 轴相切于点 B.图 图（1 ）当 x0 ，y=5 时，求 x 的值； （2 ）当 x = 6 时，求P 的半径； （3 ）求 y 关于 x 的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图中画出此函数的图象（不必列表，画草图即可）. 15.如图，OAB 的底边经过O 上的点 C，且 OA=OB，CA=CB，O 与 OA、OB 分别交于 D、E 两点（1 ）求证：AB 是O 的切线；（2 ）若 D 为 OA 的中点，阴影部分的面积为 ，求O 的半径 r16.如图，在ABC 中，C=90，ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F，O 是BEF 的外
7、接圆 （1 ）求证：AC 是O 的切线； （2 ）过点 E 作 EHAB，垂足为 H，求证：CD=HF； （3 ）若 CD=1，EH=3，求 BF 及 AF 长 17.如图，CD 为O 的直径，CDAB，垂足为点 F，AOBC，垂足为点 E，CE=2（1 ）求 AB 的长； （2 ）求O 的半径18.如图，在ABC 中，ABC=90，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE，OE （1 ）判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2 ）求证：BC 2=2CDOE； （3 ）若 cosBAD= ，BE= ，求 OE 的长 19.如图，
8、AB 为O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 D，已知D 30.（1 ）求A 的度数； （2 ）若点 F 在 O 上，CF AB，垂足为 E，CF ，求图中阴影部分的面积 . 20.如图，在 RtABC 中，C=90 ，点 D，E，F 分别在 AC，BC ，AB 边上，以 AF 为直径的O 恰好经过D，E ，且 DE=EF（1 ）求证：BC 为O 的切线； （2 ）若B=40，求CDE 的度数； （3 ）若 CD=2，CE=4，求O 的半径及线段 BE 的长 21.如图， 的圆心 在反比例函数 的图像上，且与 轴、 轴相切于点 、 ，一次函数 的图像经过
9、点 ，且与 轴交于点 ，与 的另一个交点为点 .（1 ）求 的值及点 的坐标； （2 ）求 长及 的大小； （3 ）若将 沿 轴上下平移，使其与 轴及直线 均相切，求平移的方向及平移的距离. 参考答案 解答题1.解：ABC 的内切圆O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D、E 、F，AF=AE，BF=BD，CD=CE设 AF=AE=x，则 BF=BD=11x，EC=DC=15x根据题意得 11x+15x=16解得；x=5cm AF=5cmBD=11 x=115=6cm，EC=15x=10cmAF=5cm，BD=6cm ，EC=10cm 2.解：由图形可知，AOB=90，OA=OB= =2 ，
10、 = = ，扇形 OAB 的面积= =2弧 AB 的长是： = 周长=弧 AB 的长+2OA= +4 综上所述，扇形 OAB 的弧长是 ，周长是 +4 ，面积是 2 3.解:直线 y= 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点 ,A 点的坐标为(-3,0),B 点的坐标为(0, ),AB=2 .如图, 将圆 P 沿 x 轴向左移动 ,当圆 P 与该直线相切于 C1 时 ,连结 P1C1,则 P1C1=1,易知AP 1C1ABO, = ,AP 1=2,P 1 的坐标为 (-1,0),同理可得 P2 的坐标为(-5,0).-5 与-1 之间的整数(不含-5 和 -1)有:-4,-3,-2,故满足
11、题意的点 P 的个数是 3 4.证明：连接 OA，交 BF 于点 E，A 是弧 BF 的中点，O 为圆心，OABF，BE= BF，ADBC 于点 D，ADO=BEO=90 ，在OAD 与OBE 中， ，OADOBE（AAS），AD=BE，AD= BF 5. （1）证明：连结 OE，MISSING IMAGE: , BE 平分 ABC，ABC=2ABE，OB=OE，OBE=OEB ，AOE= OEB+OBE=2ABE，ABC= AOE ，又C=90，A+ABC=90，A+AOE=90，AEO=90，即 OE AC，AC 为O 的切线 . （2 ）解：连结 OF，sinA= ,A=30，由（1）知
12、 OEAC，AOE= ABC=60 ，O 半径为 3，OD=OE=OF=OB=BF=3，BOF= EOF=ABC=60,S 扇形 OEF= ， 在 RtAOE 中，AO=6 ，AE=3 ， 在 RtACB 中，AB=9 ，BC= ， AC= ， CE=AC-AE= -3 ， CF=BC-BF= -3= ， S 梯形 OFCE= = = ， S 阴 =S 梯形 OFCE-S 扇形 OEF= - . 6.（1）解：四边形 内接于圆， ， ， ， 是 的外角 平分线， ， ， ，又 ， （2 ）解：由（ ）得 ，又 ， ， ， ， ，又 ， ， ， 是直径， ，BD= ，又D=D，DBF DAC，
13、， CD=24，解得：CD= .7.（1）解：AB 是O 的直径，ADB=90，即 BDACAB=BC，ABDCBDABD= CBD在O 中，AD 与 DE 分别是ABD 与CBD 所对的弦AD=DE ；（2 ）解：四边形 ABED 内接于O，CED= CAB，C=C，CED CAB， ，AB=BC=10， CE=2，D 是 AC 的中点，CD= ；（3 ）解：延长 EF 交O 于 M，在 RtABD 中，AD= ，AB=10，BD=3 ，EMAB，AB 是O 的直径， ，BEP=EDB，BPEBED ， ，BP= ，DP=BD-BP= ，S DPE：S BPE=DP：BP=13：32，S B
14、CD= 3 =15，S BDE：S BCD=BE：BC=4 ：5，S BDE=12，S DPE= 8.（1）证明：AB 是半圆 O 的直径D=90A+DBA=90DBC=ADBC+DBA=90BC ABBC 是半圆 O 的切线（2 ）解：BEC=D=90，BD AD，BD=6，BE=DE=3，DBC=A，BCEBAD， ，即AD=4.5 9.（1）证明：四边形 ABCD 为正方形， B=C=90，ABCD，AB 和 CD 为O 的切线，AE 切半圆于点 F，OA 平分BAE，OE 平分AEC ，而 AB CD，BAE+ AEC=180 ，OAE+ OEA=90，AOE=90，OAOE（2 ）解
15、：作 FHCD 于 H，如图，设正方形 ABCD 的边长为 4a， 则 AF=AB=4a，OB=OC=2a，AOE=90，AOB+COE=90，AOB+OAB=90，OAB=EOC，RtABORtOCE，AB ： OC=OB：CE，即 4a：2a=2a ：CE，解得 CE=a，EF=EC=a，EA=5a，ED=3a ，FH AD，EFHEAD， = = ，即 = = ，FH= a，EH= a，DH=3a a= a，CH=4a a= a，FH CM， = = 10.（ 1）解： PC 与圆 O 相切，理由为： 过 C 点作直径 CE，连接 EB，如图，CE 为直径，EBC=90，即E+BCE=9
16、0，AB DC，ACD=BAC，BAC= E， BCP= ACDE= BCP，BCP+BCE=90，即PCE=90，CEPC，PC 与圆 O 相切；（2 ）解：AD 是O 的切线，切点为 A， OAAD，BC AD，AM BC ，BM=CM= BC=3，AC=AB=9，在 RtAMC 中， AM= =6 ，设O 的半径为 r，则 OC=r，OM=AM r=6 r，在 RtOCM 中，OM 2+CM2=OC2 ， 即 32+（6 r） 2=r2 ， 解得 r= ，CE=2r= ，OM=6 = ，BE=2OM= ，E= MCP，RtPCMRt CEB， = ，即 = ，PC= 11.（ 1）证明：
17、如图 1，连接 OB， OPAB，OP 经过圆心 O，AC=BC，OP 垂直平分 AB，AP=BP ，OA=OB ，OP=OP，APOBPO（SSS），PAO=PBO，PA 切O 于点 A，APOA，PAO=90，PBO=PAO=90，OBBP ，又点 B 在O 上，PB 与O 相切于点 B；（2 ）解：如图 1， OPAB，OP 经过圆心 O，BC= AB=3 ，PBO=BCO=90，PBC+OBC=OBC+BOC=90 ，PBC=BOC，PBCBOC， OC= = =3，在 RtOCB 中，OB= = =6，tanCOB= = ，COB=60，S OPB= OPBC= =18 ，S 扇 D
18、OB= =6，S 阴影 =SOPBS 扇 DOB=18 6；若点 E 是O 上一点，连接 AE，BE，当 AE=6 时，BE= 3 3 或 3 +3 12.（ 1）证明：AB 是O 的直径， ADB=90，B+BAD=90，AC 为O 的切线，BA AC，BAC=90，即BAD+CAD=90，B=CAD ，OB=OD，B=ODB ，而ODB=CDE，B=CDE ，CAD=CDE，而ECD=DCA，CDECAD（2 ）解：AB=2 ， OA=1 ，在 RtAOC 中，AC=2 ，OC= =3，CD=OCOD=31=2，CDECAD， = ，即 = ，CE= AE=AC CE=2 = 13.（ 1
19、）证明：AB 为O 的直径，ACB=90，OE/BC，OE AC， = ，1= 2，BE 平分 ABC（2 ）解：BD 是O 的切线，ABD=90，ACB=90，BH=BD=2，CBD=2，1= 2=CBD，CBD=30， ADB=60，ABD=90，AB=2 ，OB= ，OD 2=OB2+BD2 ， OD= 14.（ 1）解 : 由 y=5，得到 P（ x，5），连接 AP，PB， 圆 P 与 x 轴相切，PBx 轴， 即 PB=5， 由 AP=PB，由勾股定理得，x=2+ =2+4=6， x=6（2 ）解: 由 x=6，得到 P（6，y ），连接 AP，PB，圆 P 与 x 轴相切，PBx
20、 轴，即 PB=y，由AP=PB，得到 =y， 解得：y=5，则圆 P 的半径为 5（3 ）解: 同（2），由 AP=PB，得到（x 2） 2+（8y ） 2=y2 ， 整理得： = ， 即图象为抛物线， 画出函数图象，如图所示； 15.（ 1）证明：连 OC，如图，OA=OB ，CA=CB，OC AB，AB 是 O 的切线；（2 ）解：D 为 OA 的中点，OD=OC=r，OA=2OC=2r，A=30，AOC=60，AC= r，AOB=120 ，AB=2 r，S 阴影部分 =SOABS 扇形 ODE= OCAB = ， r2 r r2= ，r=1，即O 的半径 r 为 116. （1）证明：
21、如图，连接 OE BE EF，BEF=90，BF 是圆 O 的直径BE 平分 ABC，CBE=OBE，OB=OE，OBE=OEB ，OEB=CBE，OE BC，AEO= C=90，AC 是O 的切线；（2 ）证明：如图，连结 DE CBE=OBE，ECBC 于 C，EH AB 于 H，EC=EHCDE+BDE=180，HFE+BDE=180 ，CDE=HFE 在CDE 与HFE 中，CDEHFE（AAS），CD=HF（3 ）由（2 ）得 CD=HF，又 CD=1， HF=1，在 RtHFE 中，EF= = ，EFBE，BEF=90，EHF=BEF=90，EFH=BFE，EHFBEF， = ，即
22、 = ，BF=10，OE= BF=5，OH=5 1=4，RtOHE 中，cos EOA= ，RtEOA 中，cosEOA= = ， = ，OA= ，AF= 5= 17.（ 1）解： ， 在 中 , 是 的直径， （2 ）解： 是 的半径， , , , . ， 又 即 的半径是 18.（ 1）证明：连接 OD，BD， AB 为圆 O 的直径，ADB=90，在 RtBDC 中，E 为斜边 BC 的中点，CE=DE=BE= BC，C=CDE，OA=OD，A=ADO，ABC=90，即C+ A=90，ADO+CDE=90，即ODE=90，DE OD，又 OD 为圆的半径，DE 为圆 O 的切线；（2 ）
23、证明：E 是 BC 的中点，O 点是 AB 的中点， OE 是 ABC 的中位线，AC=2OE，C=C，ABC=BDC，ABC BDC， ，即 BC2=ACCDBC 2=2CDOE（3 ）解：cosBAD= ， sinBAC= = ，又BE= ， E 是 BC 的中点，即 BC= ，AC= 又AC=2OE，OE= AC= 19.（ 1）解：连接 OC，CD 切O 于点 COCD=90D=30COD=60OA=OCA=ACO=30；（2 ）解：CF 直径 AB，CF=4 CE=2 在 RtOCE 中，tan COE= ，OE= =2，OC=2OE=4S 扇形 BOC= ，S EOC= 22 =2
24、 S 阴影 =S 扇形 BOC-SEOC= -2 20.（ 1）证明：连接 OD、OE、DF ，如图，AF 为直径，ADF=90，而C=90，DFBC，DE=EF ， = OE DF，OE BC，BC 为 O 的切线（2 ）解：OEB=90，B=40，BOE=9040=50，OFE= （18050）=65，CDE=AFE=65（3 ）解：易得四边形 CDHE 为矩形，HE=CD=2，DH=CE=4，设O 的半径为 r，则 OH=OEHE=r2，OD=r ，在 RtOHD 中，（ r2） 2+42=r2 ， 解得 r=5，OHDF，HF=DH=4，HF BE，OHFOEB，HF ： BE=OH：
25、OE，即 4：BE=3：5，BE= 21.（ 1）解：如图 1 中，连接 AC、ABA 与 x 轴、y 轴相切于点 B、C，ACOC，ABOB，AC=AB，四边形 ABOC 是正方形，设 A（m，m），点 A 在 y= 上，m 2=3，m0，点 A 坐标（ ， ），OC= ，点 C 坐标（0， ），一次函数 y= x+b 的图象经过点 C，b= ，一次函数的解析式为 y= ，令 y=0 得 x=-3， D （-3 ，0），b= （2 ）解：如图 2 中，连接 BC、BE ，作 AMCE 于 M在 RtDOC 中，tanCDO= ，CDO=30，ACBD，ECA=CDO=30，CAM=60，AM CE，CAM=EAM=60 ，CAE=120，在 RtAMC 中， CM=ACcos30= ，CE=2CM=3 ，CBE= CAE=60（3 ）解：如图 3 中，当A与直线 y= 相切于点 E，AB 与直线 CD 交于点 K，AB OC，AKE=DKB=DCO=60，在 RtAEK 中，AE= ，AK=AEcos30=2 ，在 RtCKA 中，AK=CAtan30=1，AA=AK+AK=1+2=3，A 向上平移 3 的单位A 与 y 轴及直线 y= 均相切同理可得A 向下平移 1 个单位A与 y 轴及直线 y= 均相切
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