1、专题分类突破六 特殊平行四边形论证的策略类型 1 熟练各种常见问题的基本证明【例 1】 2018遵义如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E，F 分别在 AB，BC 上(AEBE)，且EOF90，OE ，DA 的延长线交于点 M，OF，AB 的延长线交于点 N，连结 MN.(1)求证：OMON.(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长例 1 图 例 1 答图解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，OAOB ，DAO 45，OBA45，OAMOBN135.EOF90，AOB 90，AOMBON，OAMOBN(ASA )，OM ON；(2)如图，过
2、点 O 作 OHAD 于点 H，正方形的边长为 4，OHHA 2.E 为 OM 的中点，HM 4.则 OM 2 ，22 42 5MN OM2 .2 10类型 2 能准确地添加基本辅助线【例 2】 如图，已知 ABCD，E 是对角线 AC 延长线上的一点，(1)若四边形 ABCD 是菱形，求证：BEDE；(2)写出(1)的逆命题，并判断其是真命题还是假命题若是真命题，试给出证明；若是假命题，试举出反例解：(1)证明：连结 BD，交 AC 于点 O. ABCD 是菱形，ACBD，且 BOOD.又E 是 AC 延长线上的一点，EO 是BDE 的边 BD 的中垂线， DEB 的角平分线，DEB 是等腰
3、三角形，BEDE ；(2)(1)的逆命题是“若 BEDE，则四边形 ABCD 是菱形” ，它是真命题，理由如下：平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 交于点 O，BOOD .又BEDE ，EOBD ，即 ACBD ，四边形 ABCD 是菱形类型 3 对复杂的图形能进行恰当地分解与组合【例 3】 如图所示，在四边形 ABCD 中，E 为 AB 上一点， ADE 和BCE 都是等边三角形，AB，BC， CD，DA 的中点分别为 P，Q ，M ，N ，试判断四边形 PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论解：四边形 PQMN 为菱形证明如下：连结 AC，BD.P，Q 分别为 AB，BC 的中点，
4、PQ 为ABC 的中位线，PQ 綊 AC.12同理 MN綊 AC.MN 綊 PQ，12四边形 PQMN 为平行四边形在AEC 和DEB 中，AEDE，ECEB，AED 60CEB，即AECDEB.AECDEB(SAS)ACBD.PQ AC BDPN， PQMN 为菱形12 12类型 4 利用问题的基本模型探究拾阶而上【例 4】 问题探究：(1)已知：如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，H 分别在 BC，AB 上，若 AE 丄 DH 于点 O，求证：AEDH；类比探究：(2)已知：如图 2，在正方形 ABCD 中，点 H，E，G，F 分别在AB，BC，CD，DA 上，若 EFHG 于点 O
5、，则线段 EF 与 HG 有什么数量关系？说明理由；拓展应用：(3)已知：如图 3，在(2)问条件下，若 BC4，点 E 为 BC 的中点，DF 3AF，连结 FH，HE ，EG ，GF.求四边形 HEGF 的面积解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，ABDA ，ABE 90 DAH .HAO OAD90.AEDH，ADO OAD90.HAO ADO.ABE DAH(ASA )，AEDH.(2)EFGH.理由如下：将 FE 平移到 AM 处，则 AMEF，AMEF.将 GH 平移到 DN 处，则 DNGH，DNGH.EFGH，AM DN.根据(1)的结论得 AMDN，所以 EFGH；(3
6、)由已知条件可求得：EFGH 17故可得四边形 EHFG 的面积为( )228.5.1712018张家界在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，AEAD ，DFAE，垂足为点 F.(1)求证：DF AB；(2)若FDC30，且 AB4，求 AD.证明：(1)在矩形 ABCD 中，ADBC，AEBDAF.又DFAE，DFA90，DFAB.又ADEA，ADFEAB，DFAB.(2)ADFFDC90，DAFADF90，FDCDAF30，AD2DF .DFAB，AD2AB8.2如图，在正方形 ABCD 中，以对角线 BD 为边作菱形 BDFE，使 B，C ，E 三点在同一直线上，连接 BF，交 C
7、D 于点 G.(1)求证：CG CE；(2)若正方形边长为 4，求菱形 BDFE 的面积解：(1)证明：连结 DE 交 BF 于点 O，则 DEBF，ODGOGD90，CBGCGB90，CGBOGD，CDECBG.又BCDC，BCGDCE ，BCGDCE(ASA)，CGCE；(2)正方形边长 BC4，BD BC4 ，DCBC4.2 2菱形 BDFE 的面积为 S4 416 ，2 2菱形 BDFE 的面积为 16 .232018南京如图，在四边形 ABCD 中，BCCD，C2BAD. 点 O 是四边形 ABCD内一点，且 OAOBOD.求证：(1)BODC；(2)四边形 OBCD 是菱形第 3
8、题图 第 3 题答图证明：(1)延长 AO 与 CD 相交于点 E，OAOB ，ABO BAO.又BOEABO BAO，BOE2BAO .同理DOE 2 DAO ，BOEDOE2BAO2DAO2( BAO DAO)即BOD 2 BAD.又C2BAD ，BOD C；(2)连结 OC，OBOD ，CBCD，OCOC，OBCODC，BOCDOC，BCODCO .BOD BOC DOC，BCDBCODCO，BOC BOD，BCO BCD.12 12又BOD BCD，BOCBCO，BO BC.又OBOD ， BCCD，OBBCCDDO，四边形 OBCD 是菱形42018绍兴小敏思考解决如下问题：【原题】
9、如图 1，点 P，Q 分别在菱形 ABCD 的边 BC，CD 上，PAQB，求证：APAQ .(1)小敏进行探索，若将点 P，Q 的位置特殊化：把PAQ 绕点 A 旋转得到EAF，使AEBC，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，如图 2，此时她证明了 AEAF.请你证明(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图 3，作 AEBC，AFCD，垂足分别为点 E，F.请你继续完成原题的证明(3)如果在原题中添加条件：AB4，B60，如图 1.请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案图 1解：(1)证明：如图 1，在菱形 ABCD 中，BC180，BD，ABAD ，EAF B，
10、CEAF180，AECAFC180.AEBC， AEBAEC90，AFC90，AFD90，AEB AFD，AEAF.图 2(2)证明：如图 2，由(1) ，PAQEAFB，EAP EAFPAFPAQPAFFAQ .AEBC，AFCD，AEP AFQ90.AEAF，AEP AFQ，APAQ .(3)不唯一，举例如下：层次 1：求D 的度数答案： D 60.分别求BAD，BCD 的度数答案：BADBCD120.求菱形 ABCD 的周长答案：16.分别求 BC，CD，AD 的长答案：4，4，4.层次 2：求 PCCQ 的值答案： 4.求 BPQD 的值答案：4.求APCAQC 的值答案：180.层次 3：求四边形 APCQ 的面积答案：4 .3求ABP 与AQD 的面积和答案：4 .3求四边形 APCQ 周长的最小值答案：44 .3求 PQ 中点运动的路径长答案： 2 .3
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