1、专题分类突破四 平行四边形性质与判定的综合应用类型 1 平行四边形性质与判定的综合应用【例 1】 如图所示,在 ABCD 中,BD AD,A45,E,F 分别是 AB,CD 上的点,且 BEDF ,连结 EF 交 BD 于点 O.(1)求证:BO DO.(2)若 EFAB,延长 EF 交 AD 的延长线于点 G,当 FG 1 时,求 EF 的长解:(1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形,DCAB .ODF OBE.在ODF 与 OBE 中, ODF OBE, DOF BOE,DF BE, )ODF OBE(AAS ),BODO.(2)EF2FG2.变式 如图,在 ABCD 中,E,F 分别
2、为边 AD,BC 的中点,对角线 AC 分别交 BE,DF于点 G,H.求证:AGCH.证明:四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC.E,F 分别为 AD,BC 边的中点,AEDE AD,CFBF BC,12 12DEBF,DEBF,AE FC .四边形 BFDE 是平行四边形,BEDF .AGEAHD,EBFDFC.又AHD FHC,AGEFHC,ADBC,AEBEBF.AEB DFC.AGECHF,AG CH.类型 2 平行四边形与三角形中位线的综合应用)【例 2】 如图所示,已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上的一点,且CEDC,连结 AE,分别交 BC,BD 于点
3、 F,G,连结 AC 交 BD 于点 O,连结 OF.求证:AB2OF .证明:四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD,AB CD ,OA OC.BAF CEF,ABF ECF.又CEDC,ABEC.在ABF 和ECF 中, BAF CEF,AB EC, ABF ECF, )ABF ECF(ASA) ,BFCF.又OAOC,OF 是ABC 的中位线,AB2OF .变式 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,E 为 AD 上的一点,连结 EB 并延长至点 F,使 BFBE,连结 EC 并延长至点 G,使 CGCE,连结 FG.H 为 FG 的中点,连结DH,AF.(1)求证:四边形 AFHD
4、为平行四边形;(2)若 CBCE, EBC 75 ,DCE10,求DAB 的度数解:(1)证明:BFBE,CGCE ,BC 为FEG 的中位线,BCFG,BC FG.12又H 是 FG 的中点,FH FG,12BCFH.四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC,ADBC,ADFH ,ADFH,四边形 AFHD 是平行四边形;(2)四边形 ABCD 是平行四边形,DABDCB.CECB,BECEBC75,BCE180757530 ,DCBDCEBCE103040,DAB40类型 3 平行四边形与变换的综合应用【例 3】 如图,将 ABCD 折叠,使顶点 D 恰落在 AB 边上的点 M 处,折痕为
5、 AN,那么对于结论 MNBC,MN AM ,下列说法正确的是( B )A都错 B都对C对,错 D错,对变式 如图所示,在 ABCD 中,将ABC 沿 AC 对折,使点 B 落在点 B处,AB 和 CD相交于点 O.求证:OAOC.证明:ABC 是由ABC 沿 AC 对折得到的图形,BACBAC.四边形 ABCD 为平行四边形,ABCD,BACDCA,DCABAC,OAOC.1如图所示,在 ABCD 中,BAFE,EA 是BEF 的角平分线求证:(1)ABEAFE;(2)FADCDE.证明:(1)EA 是BEF 的角平分线,BEA FEA.在ABE 和AFE 中, B AFE, BEA FEA
6、,AE AE, )ABE AFE( AAS)(2)ABEAFE,AB AF.四边形 ABCD 为平行四边形,ABCD,ADBC,AB DC,AFCD,ADF DEC,BC 180.BAFE,AFE AFD180,AFDC.在AFD 和DCE 中, ADF DEC, C AFD,AF DC, )AFDDCE( AAS),FADCDE.2如图所示,E,F 分别为 ABCD 中 AD,BC 的中点,分别连结 AF,BE 交于点 G,连结 CE,DF 交于点 H.求证:EF 与 GH 互相平分证明:E 为 AD 的中点,F 为 BC 的中点,AE AD,12CF BC.12四边形 ABCD 是平行四边
7、形,ADBC,ADBC,AECF,AECF,四边形 AFCE 是平行四边形,AFCE .同理可证 BEDF .四边形 GFHE 是平行四边形,EF 与 GH 互相平分32018黄冈如图,在 ABCD 中,分别以边 BC,CD 作等腰BCF,CDE,使BCBF,CDDE,CBF CDE,连结 AF,AE.(1)求证:ABFEDA;(2)延长 AB 与 CF 相交于点 G.若 AFAE,求证:BF BC.证明:(1)四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD,ADBC,ABCADC.BCBF,CDDE,BFAD ,ABDE.ADEADCEDC360 ,ABF ABCCBF360,EDCCBF,ADE
8、FBA,ABF EDA.(2)延长 FB 交 AD 于点 H.AEAF,EAF 90.ABF EDA,EADAFB.EADFAH90,FAHAFB90.AHF90,即 FBAD.ADBC,FB BC.4如图,将 ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠,使点 D 落到 AB 边上的点 D处,折痕 l 交CD 边于点 E,连结 BE.(1)求证:四边形 BCED是平行四边形;(2)若 BE 平分ABC,求证: AB2AE 2BE 2.证明:(1)将 ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠,使点 D 落到 AB 边上的点 D处,DAED AE,DEAD EA,DAD E.DEAD ,DEA EAD,DAEEADDEA D EA,DAD DED,四边形 DADE 是平行四边形, DE AD.四边形 ABCD 是平行四边形,AB 綊 DC,CE 綊 DB,四边形 BCED是平行四边形;(2)BE 平分ABC,CBEEBA.ADBC,DAB CBA180.DAEBAE,EABEBA90,AEB 90,AB 2AE 2BE 2.