1、题型六 几何图形的证明及计算类型一 与全等三角形有关的证明及计算1. 如图，在四边形 ABCD 中，AC BD 于点 E，AB ACBD，点 M 为 BC 中点，N为线段 AM 上的点，且 MB MN.(1)求证：BN 平分ABE；(2)若 BD1，连接 DN，当四边形 DNBC 为平行四边形时，求线段 BC 的长；第 1 题图2. 如图，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，在底边 BC 上取一点 D，在边 AC 上取一点 E，使 AEAD，连接 DE，在ABD 的内部作ABF2EDC，交 AD 于点 F.(1)求证：ABF 是等腰三角形；(2)如图，BF 的延长线交 AC 于点 G.若DAC
2、CBG ，延长 AC 至点 M，使GMAB，连接 BM，点 N 是 BG 的中点，连接 AN，试判断线段 AN、BM 之间的数量关系，并证明你的结论第 2 题图3. 如图 ，在ABC 中，ACB90，ACBC ，E 为 AC 边上的一点，F 为 AB 边上一点，连接 CF，交 BE 于点 D，且ACFCBE ，CG 平分ACB 交 BD 于点 G.(1)求证：CFBG ；(2)如图，延长 CG 交 AB 于 H，连接 AG，过点 C 作 CPAG 交 BE 的延长线于点P，求证： PB CPCF；(3)在(2)问的条件下，当GAC2FCH 时，若 SAEG 3 ，BG6，求 AC 的长3图 图
3、第 3 题图4. 如图，在 RtABC 中， ACBC，ACB 90 ，点 D，E 分别在 AC，BC 上，且 CD CE.(1)求证：CAECBD；(2)如图，F 是 BD 的中点，连接 CF 交 AE 于点 M，求证：AECF；(3)如图，F，G 分别是 BD，AE 的中点，连接 GF，若 AC2 ，CE1，求2CGF 的面积第 4 题图5. 如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC 上一点，点 E 在 BC 的延长线上，且OEOB，OE 交 CD 于点 F.(1)求证：OBCODC ；(2)求证：DOEABC；(3)把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变( 如图)，若ABC5
4、2，求DOE 的度数第 5 题图6. 已知：如图，等腰直角ABC 和ECD 中，ACB ECD90 ，ACBC，ECDC.(1)求证：BEAD；(2)如图，若将ECD 绕点 C 按逆时针方向旋转一个锐角，延长 BE 交 AD 于点F，交 AC 于点 O.求证：BF AD；如图，取 BE 的中点 M，AD 的中点 N，连接 MN，NC，求MNC 的度数第 6 题图类型二 与相似三角形有关的证明及计算1. 如图，已知在ABC 中，ABC 90 ，AB3，BC4.点 Q 是线段 AC 上的点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB(如图) 或线段 AB 的延长线( 如图)于点 P.(1)当点 P 在
5、线段 AB 上时，求证：AQPABC；(2)当PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长第 1 题图2. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADCACB90，E 为 AB 的中点，连接 DE、CE.(1)求证：AC 2AB AD；(2)求证：CEAD ；(3)若 AD5， AB7，求 的值ACAF第 2 题图3. 如图，在ABC 中，ABAC ，点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上，EDFB.(1)求证：DE CDDFBE ；(2)如图，若 D 为 BC 中点，连接 EF，AD.求证：DE 平分BEF；若四边形 AEDF 为菱形，求BAC 的度数及 的值AEAB第 3 题图4
6、. 如图，ABC 中，点 D 在线段 AB 上，点 E 在线段 CB 延长线上，且BE CD，EP AC 交直线 CD 的延长线于点 P，交直线 AB 的延长线于点F，ADP ACB.(1)图中是否存在与 AC 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；(2)若将“点 D 在线段 AB 上，点 E 在线段 CB 延长线上”改为“点 D 在线段 BA 延长线上，点 E 在线段 BC 延长线上 ”，其他条件不变( 如图) 当ABC90，BAC60，AB 2 时，求线段 PE 的长第 4 题图5. 如图， ABC 中，BCAC，CD 平分ACB 交 AB 于 D，E，F 分别是 A
7、C，BC边上的两点，EF 交 CD 于 H.(1)若EFC A，求证：CECD CHBC；(2)如图，若 BH 平分ABC，CECF，BF3，AE2，求 EF 的长；(3)如图，若 CECF，CEFB，ACB60，CH 5，CE 4 ，求 的3ACBC值第 5 题图类型三 与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 如图，等边ABC 边长是 8，过点 C 的直线 lAB，点 D 为 BC 上一点( 不与点B，C 重合) ，将一个 60角的顶点放在 D 处，它的边始终过点 A，另一边与直线 l 交于点E，DE 交 AC 于点 F.(1)若 BD6，求 CF 的长；(2)若点 D 是 BC 的中点，判
8、定ADE 的形状，并给出证明；(3)若点 D 不是 BC 的中点，则(2)中的结论成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由第 1 题图2. 如图，在ABC 中，ACBC ，ACB90，点 D、P 分别为 AC、AB 的中点，连接 BD、CP，CP 交 BD 于点 E，点 F 在 AB 上且ACF CBD.(1)求证：CFBE ；(2)如图，过点 A 作 AGAB 交 BD 的延长线于点 G.若 CF6，求 DG 的长；设 CF 交 BD 于点 H，求 的值HECH第 2 题图3. 如图，已知 D 是ABC 的边 BC 上的中点，DE AB 于点 E，DFAC 于点 F，且 BECF
9、，点 M、N 分别是 AE、DE 上的点，ANFM 于点 G.(1)若BAC 90，求证： ABC 为等腰直角三角形；(2)如图，若BAC90 ， AF2DF .求证： ；FMAN EMDN求 ANFM 的值图 图第 3 题图4. (2018 六安市模拟)我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点 I 为 ABC 的内心(1)如图，连接 AI 并延长交 BC 于点 D，若 ABAC 3，BC2，求 ID 的长；(2)如图，过点 I 作直线交 AB 于点 M，交 AC 于点 N.若 MNAI，求证：MI 2BMCN；如图，AI 的延长线交 BC 于点 D，若BAC60，AI4，
10、求 的值1AM N第 4 题图5. 如图 ，在 ABC 中，ACB90，AC BC，顶点 C 恰好在直线 l 上，过 A、B分别作 ADl，BE l，垂足分别为 D、E.(1)求证：DE ADBE；(2)如图，在ABC 中，当 ACkBC，其他条件不变，猜想 DE 与 AD、BE 的关系，并证明你的结论；(3)如图，在 RtABC 中，AC 4，BC 12，ACB 90，点 D 是 AC 的中点，点E 在 BC 上，过点 E 作 EFDE 交 AB 于点 F，若恰好 EF2DE ，求 CE 的长图 图 图第 5 题图6. 如图，在等腰 RtABC 中，ACB90，AC BC, D 为 AB 的
11、中点，连接 CD，将一个以点 D 为顶点的 45角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC、BC 的延长线相交，交点分别为点 E，F，DF 与 AC 交于点 M，DE 与 BC 交于点 N.(1)若 CECF，求证： DCEDCF；(2)如图，在EDF 绕点 D 旋转的过程中：探究线段 AB 与 CE、CF 之间的数量关系，并证明；若 AB4 ，CE2CF，求 DN 的长2第 6 题图类型一 与全等三角形有关的证明及计算1. (1)证明：ABAC，点 M 是 BC 的中点，AMBC， BAMCAM，CAMACM90，ACBD，MBE ACM90，BAN CAMMBE，MBMN，MNBMBN，MN
12、BABNBAN ， MBNMBE NBE ，ABNBAN MBE NBE ，ABNNBE，即 BN 平分ABE；(2)解：连接 DN，点 M 为 BC 中点，MBMN，MBMN BC，12四边形 DNBC 为平行四边形，BNCD，BNCD，DBNBDC，由(1)知ABN DBN，ABNBDC，ABBD 1，ABNBDC，ANBC，AMANMN BC，32由(1)中条件可知 AMBC，即AMB 90，AM 2MB 2AB 2，即( BC)2( BC)21，32 12解得 BC .105参考答案第 1 题解图2. (1)证明：等腰三角形 ABC 中，AB AC，ABDACD，AEAD ，ADEAE
13、D，BADABDADE EDC，EDCACD AED，BAD2EDC，ABF 2EDC，BADABF，ABF 是等腰三角形；(2)解：AN BM.12证明：如解图，延长 CA 至点 H，使 AGAH ，连接 BH，点 N 是 BG 的中点，点 A 是 HG 的中点，AN BH，12(1)中已证明BADABF，且DACCBG，CABCBA，CACB又ABAC，ABC 是等边三角形，BACBCA60，BAHBCM，GM AB，ABAC，ACGM ，CMAG，AHCM，在BAH 和BCM 中，AB BC BAH BCMAH CM )BAHBCM(SAS) ，BHBM，AN BM.12第 2 题解图3
14、. (1)证明：ACB90 ， ACBC，A45 ，CG 平分ACB，ACGBCG45，ABCG，在BCG 和CAF 中， A BCGAC BC ACF CBE)BCGCAF(ASA)，CFBG；(2)证明：PCAG ，PCACAG，ACBC，ACGBCG，CGCG，ACGBCG(SAS) ，CAGCBE，PCGPCAACGCAG45CBE45，PGCGCBCBECBE 45 ，PCGPGC，PCPG，PBBG PG，BGCF，PBCPCF；(3)解：如解图，过 E 作 EMAG，交 AG 于 M，S AEG AGEM3 ，12 3由(2)得：ACGBCG，BGAG 6， 6EM3 ，12 3
15、解得 EM ，3设FCHx，则GAC2 x，ACFEBCGAC2x ，ACH45，2xx45，解得 x15，ACFGAC30，在 Rt AEM 中， AE2EM2 ，3AM 3，（23）2 （3）2M 是 AG 的中点，AEEG 2 ，3BEBG EG62 ，3在 Rt ECB 中，EBC30，第 3 题解图CE BE3 ，12 3ACAEEC2 3 3 3.3 3 34. (1)证明：在ACE 和BCD 中，AC BC ACE BCDCE CD )ACEBCD，CAECBD；(2)证明：在 RtBCD 中，点 F 是 BD 的中点，CFBF，BCFCBF，由(1)知，CAECBD，BCFCA
16、E，CAEACFBCF ACF BCA90，AMC90，AECF；(3)解：AC2 ，2BCAC2 ，2CE1，CDCE1，在 Rt BCD 中，根据勾股定理得，BD 3 ，CD2 BC2点 F 是 BD 中点，CFDF BD ，12 32同理：EG AE ，12 32如解图，连接 EF，过点 F 作 FHBC 于点 H，ACB90，点 F 是 BD 的中点，FH CD ，12 12S CEF CEFH 1 ，12 12 12 14由(2)知，AECF，S CEF CFME ME ME，12 12 32 34 ME ，34 14ME ，13GM EGME ，32 13 76S CFG CFGM
17、 .12 12 32 76 78第 4 题解图5. (1)证明：AC 是正方形 ABCD 的对角线，BCDC，BCADCA，在OBC 和ODC 中，BC DC BCO DCOCO CO )OBCODC(SAS) ；(2)证明：由(1)知，OBCODC，CBOCDO，OEOB ，CBOE，CDOE，DFO EFC ，180 DFOCDO180EFC E，即DOEDCE，ABCD，DCEABC，DOE ABC ；(3)解：AC 是菱形 ABCD 的对角线，BCDC，BCADCA，在BCO 和DCO 中，BC DC BCO DCOCO CO )BCODCO(SAS) ，CBOCDO，OEOB ，CB
18、OE，CDOE，DFO EFC ，180 DFOCDO180EFC E，即DOE DCE ，ABCD，DCEABC，DOE ABC 52.6. (1)证明：在BEC 和ACD 中，BC AC ACB ECDEC DC )BECADC(SAS)，BEAD ；(2)证明：ACBECD90 ，ACBACEECDACE，即BCEACD，在BEC 和ADC 中，BC AC BCE ACDEC DC )BECADC(SAS)，CBECAD，在BCO 和AFO 中，CBECAD，BOCAOF，AFB ACB90 ，BFAD ；解：如解图，连接 MC，ACBECD90，BCEACD，又ACBC，ECDC，BE
19、CADC，CBECAD，ADBE，M 是 BE 的中点，N 是 AD 的中点，BMAN，在BMC 和ANC 中，BM AN CBE CADBC AC )BMCANC(SAS)，CMCN，BCM ACN，ACN MCABCMMCA，MCNACB90，MCN 是等腰直角三角形，MNC45.第 6 题解图类型二 与相似三角形有关的证明及计算1. (1)证明：PQAQ，AQP90ABC.在AQP 与ABC 中，AQPABC，QAPBAC，AQPABC；(2)解：在 RtABC 中，AB 3，BC 4，由勾股定理得 AC5.当点 P 在线段 AB 上时，如题图所示QPB 为钝角，当PQB 为等腰三角形时
20、，只可能是 PBPQ，由(1)可知，AQPABC， ，即 ，PAAC PQBC 3 PB5 BP4解得 PB ，43APABPB3 ；43 53当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图所示QBP 为钝角，当PQB 为等腰三角形时，只可能是 PBBQ.BQPP，BQPAQB90，AP90，AQBA，BQAB，ABBP，AP2AB236.综上所述，当PQB 为等腰三角形时，AP 的长为 或 6.532. (1)证明：AC 平分DAB，DACCAB.又ADCACB90，ADCACB， ，ADAC ACABAC 2ABAD; (2)证明：E 为 AB 的中点，ACB90 ，CE ABAE，12EA
21、CECA，DACCAB，DACECA.ADCE；(3)解：CEAD ，DAFECF，又DFAEFC ，AFDCFE， ，ADCE AFCFCE AB，12CE 7 ，12 72AD5， ，572 AFCF ，CFAF 710 1 ，AF CFAF CFAF 1710即 .ACAF 17103. (1)证明：ABC 中，ABAC，BC，BBDE DEB 180，BDEEDFFDC180，EDFB，FDCDEB，CFDBDE， ，DEDF BECD即 DECDDF BE；(2)证明：由(1) 证得BDECFD， ，BECD DEDFD 为 BC 中点，BDCD， ，BEBD DEDFBEDF ，B
22、DEDFE，BEDDEF，ED 平分BEF；解：四边形 AEDF 为菱形，AEF DEF，由(2)知，BEDDEF，AEF DEFBED 180 ，AEF 60，AEAF，BAC60.ABAC，ABC 是等边三角形，B60 ，又BEDAEF60，BED 是等边三角形，BEDE ，AEDE ，AEBE AB，12 .AEAB 124. 解：(1)ACBF .证明如下：ADPACDA ，ACBACDBCD，ADPACB，BCDA，又CBDABC，CBDABC， ，CDAC BCBAFEAC，CABEFB，又ABCFBE，ABCFBE， ，BCBA BEBF由可得 ，CDAC BEBFBECD，BF
23、AC；(2)ABC 90，BAC 60 ，ACB30ADP，BCD60，ACD603030，PEAC，EACB30，CPEACD30，CPCE，BECD，BECECDCP，BCDP，ABC90，D30，BC CD，12DP CD，即 P 为 CD 的中点，12又PFAC，F 是 AD 的中点，FP 是ADC 的中位线，FP AC，12ABC90，ACB30，AB AC，12FPAB2，DPCPBC，CPCE，BCCE，即 C 为 BE 的中点，又EFAC，A 为 FB 的中点，AC 是BEF 的中位线，EF2AC4 AB8，PEEFFP826.5. (1)证明：EFCFECECF180，ABA
24、CB180，又EFCA，ECFACB，CEFB，ECHDCB，ECHBCD， ，ECBC CHCDCECDCHBC；(2)解：如解图，连接 AH.BH、CH 分别是ABC 和ACB 的平分线，AH 是BAC 的平分线，BHC180 (ABC ACB )180 (180BAC)90 BAC9012 12 12HAE，CECF，HCEHCF，CHEF ，HFHE ，CHF90，BHCBHFCHFBHF90 ，HAEBHF，CECF，CFECEF，AEHBFH，AEHHFB， ，AEHF EHFBFHEH 6，HEHF ，6EF2 ；6第 5 题解图(3)解：如解图，作 HMAC 于 M，HN BC
25、 于 N.设 HFx ，FN y.HCMHCN 30 ，HC 5，HM HN ，52CMCN ， 532CE4 ，3EM ， EH ，332 EM2 HM2 13S HCF S HCE FHEHFC EC，x (y )4 ，13532 3又x 2y 2( )2 ，52解得 y 或 ，5314 332当 y 时， CFCN NF4 ，332 3又CECF，y ，即 FN ，332 5314CF ，2037CEFB，ECF ACB，ECFBCA， ，ECBC CFAC .ACBC CFEC 203743 57第 5 题解图类型三 与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 解：(1)ABC 是等边三角
26、形，BFCD60，BAD18060ADB，FDC180ADE ADB18060ADB，BADFDC，ABDDCF， ，ABDC BDCFCF ；DCBDAB （8 6）68 32(2)ADE 是等边三角形证明：若 D 点是 BC 边中点，则 ADBC，CDEADCADE90 6030，又lAB，DCE180ABC18060 120，CED180DCE CDE180 12030 30，即CDECED，CECD.在ACD 和ACE 中，AC AC ACD ACE 60DC EC )ACDACE(SAS)，ADAE，又ADE60，ADE 是等边三角形；(3)(2)中结论仍然成立证明：如解图，过点 D
27、 作 DGl 交 AC 于点 G，则GDCABC，GDC 是等边三角形，DGDC，GDCDGC60，ADE60，ADEGDC，ADG EDC ，又AGD 18060120，DCE180 ABC120，AGD DCE ，在ADG 和 EDC 中， ADG EDCDG DC AGD DCE)ADG EDC (ASA)，ADDE ，又ADE60，ADE 是等边三角形第 1 题解图2. (1)证明：P 为 AB 的中点，AC BC，ACB90，BCE ACB 9045，A45，12 12ABCE，在ACF 和CBE 中， A BCEAC BC ACF CBD)ACFCBE(ASA)，CFBE；(2)解
28、：由(1)得 CFBE，BECF6，ACBC，CE 平分ACB，P 为 AB 的中点，CPAB，AGAB，CEAG，GAD ECD ，又ADG CDE，ADG CDE ，点 D 是 AC 的中点，ADCD，即相似比 k1，ADG CDE ，DGDE GE，12CEAG 且 P 为 AB 中点，GEBE6，DG3；设 EPa，由(2) 得 EPAG，AG2a，又由上题得ADGCDE，CEAG2a，CPCEEP3a，等腰直角ABC 中 CPAB，BPCP3a ，由题得ACPCBP45，ACFCBD，ACPACFCBP CBD，即HCEPBE，CEHPEB，CHE180CEHHCE，BPE180PB
29、EPEB，CHEBPE90 ，CHE 是直角三角形，CHEBPE， .HECH PEBP a3a 133. (1)证明：DEAB，DFAC，BEDCFD90，D 是 BC 的中点，BDCD，在 RtBED 和 RtCFD 中，BD CDBE CF)RtBEDRtCFD(HL)，BC，BAC90，ABC 为等腰直角三角形；(2)证明：如解图，连接 AD、EF ，相交于点 O，由(1)可得 RtBED RtCFD，BC，DEDF，ABAC，BECF，AEAF，ADEF，又NEMMGN90，GMEENGDNGENG180 ，EMF DNA ，又AEOEAO 90，EAONDA90，AEONDA，FM
30、E AND ， ；FMAN EMDN第 3 题解图解：设 AF2k ，DFk ，在 Rt ADF 中，AD k，（2k）2 k2 5由可得BC，DEDF，AD 垂直平分 EF，则 OF EF，12DFAC，S ADF kOF 2kk，12 5 12OF k， EF k，255 455 ，ADEF 54又FME AND， ，ANFMADEF 54即 ANFM5 4.4. (1)解：如解图中，作 IEAB 于 E.设 IDx，ABAC3， AI 平分BAC，ADBC，BDCD1，在 Rt ABD 中，AD 2 ，AB2 BD2 32 12 2在BEI 和BDI 中， EBI DBI， BEI BD
31、I 90，BI BI， )BEI BDI，ID IEx，BDBE 1，AE2，在 Rt AEI 中， AE 2EI 2AI 2，2 2x 2(2 x )2 ，2x ，ID ；22 22第 4 题解图(2)证明：如解图，连接 BI、CI.I 是内心，MAI NAI，AIMN，AIM AIN90，又AIAI，AMI ANI(ASA)，AMNANM，BMI CNI，设BAI CAI，ACIBCI，NIC90 ，ABC18022 ，MBI 90 ，MBI NIC，BMI INC， ，BMNI MINCNIMI BMCN ，NIMI，MI 2BMCN；解：如解图，过点 N 作 NGAD 交 MA 的延长
32、线于 G.NGAD，ANGDAN，AGNBAD，BAC60，BADDAN30，ANGAGN30，ANAG，NG AN，3AING ，MIA MNG ，MAI MGN ，AMI GMN ， ，AMMG AING ，AMAM AN 43AN ，AM ANAM 3AN4 .1AM 1AN 34第 4 题解图5. (1)证明：ACB90 ，ACDBCE90，ADDE ，BEDE，DACDCA90，ADCBEC，DACECB，在ADC 和CEB 中， ADC CEB DAC ECBAC CB )ADCCEB(AAS)，ADCE，CDBE，DECEDCADBE ；(2)解：DE kBE AD.1k证明：A
33、CB90，ACDBCE90，ADDE ，DACDCA90，DACECB，ADDE ，BEDE，ADCCEB90，ADCCEB， k，ADCE DCBE ACBCDCkBE ，CE AD，1kDEDCCEkBE AD；1k(3)解：如解图，过点 F 作 FGBC 于点 G，AC4，D 是 AC 的中点，CD2，EF2DE ，易证DCEEGF，FG2CE ，EG2DC4，设 CEx，则 BGBCCG124x8x，FGBC，ACBC，ACBFGB90 ，BB ，FGBACB， ，即 ，FGAC BGBC 2x4 8 x12解得 x ，87即 CE 的长为 .87第 5 题解图6. (1)证明：ACB
34、90 ， ACBC，D 为 AB 的中点，BCDACD45，BCEACF90，DCEDCF135，在DCE 与DCF 中，CE CF DCE DCFCD CD )DCEDCF(SAS)；(2) 解：AB 24CECF.证明：DCFDCE135，CDFF18013545，CDFCDE45，FCDE，CDFCED， ，CDCE CFCD即 CD2CECF，ACB90，ACBC，CD 平分ACB ，CDADBD AB，12( AB)2CECF，12AB 24CECF；解：如解图，过 D 作 DGBC 于 G，由得 AB24CE CF，AB4 ，CE2CF，2CE4，CF2，DGBC 于 G，由题得B45，BD AB212 2DGB 是等腰直角三角形，BGDG 2 sin452，2DGBC，ACBC，DGAC 即 DGCE，ECN DGN又ENC DNGCEN GDN ， 2，CEDG CNNG 42又D 点为 AB 中点，DGAC，CGBG2，NG CG ，13 23在 RtDGN 中，DN .DG2 NG222 （23）2 2103第 6 题解图
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