1、题型三 填空压轴之几何图形多解问题1. 已知正方形 ABCD 的边长为 4 ，如果 P 是正方形对角线 BD 上一点，满足2ABP CBP，若PCB 为直角三角形，则 BP 的长为_ 2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB8，AD6，E 为 AB 边上一点，将BEC 沿 CE 翻折，点 B 落在点 F 处，当AEF 为直角三角形时，BE_第 2 题图 第 4 题图 3. 在矩形 ABCD 中，AB4，BC 6，若点 P 在 AD 边上，连接 PB、PC，BPC 是以 PB 为腰的等腰三角形，则 PB 的长为_4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC 3，点 P、Q 分别为直线 AB、BC
2、 上的点，满足 PDPQ ，则当PDQ 为等腰三角形时，AP 的长为_5. 已知ABC 中，tanB ，BC 6，过点 A 作 BC 边上的高，垂足为点 D，且满足23BDCD21，则ABC 面积的所有可能值为_6. 如图，有一张面积为 10 的三角形纸片，其中一边 AB 为 4，把它剪开两次拼成一个矩形( 无缝隙、无重叠)，且矩形的一边与 AB 平行，则矩形的周长为 _第 6 题图 第 7 题图7. 如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD8，MN 为对角线 BD 的垂直平分线，以 BD为底边作等腰三角形 BPD，使得点 P 落在直线 MN 上，且 PD5，则 AP_8. 在 RtABC 中
3、，A90，AB AC 2，D 是边 AC 上的动点，满足 BD 的垂2直平分线交 BC 于点 E，若 CDE 为直角三角形，则 BE 的长为_9. 如图，在四边形 ABCD 中，AABC90，AD1，BC3，E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长交 AD 的延长线于点 F，若BCD 是等腰三角形，则四边形 BDFC 的面积为_第 9 题图 第 10 题图 10. 如图，在矩形 ABCD 中， AB6，AD 2 ，E 是 AB 边上一点，AE 2，F 是直3线 CD 上一动点，将AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 的对应点为点 A，当点 E、A、C 三点在一条直线上时，DF 的长度为 _11
4、. 已知在 RtABC 中，斜边 AB5，BC 3，以点 A 为旋转中心，旋转这个三角形至AB C的位置，那么当点 C落在直线 AB 上时，BB _12. ABC 中，AB4，BC6，B60，将ABC 沿射线 BC 方向平移得到ABC，使得 BC4，连接 AC，则AB C 的周长为_13. 如图，在ABCD 中，A60 ，AB3，点 E、F 分别为 AD、BC 的中点，沿EF 折叠平行四边形，使 CD 落在直线 AB 上，点 C 的对应点为 C，点 D 的对应点为 D，若 BD 1，则 AD 的长为_第 13 题图 第 14 题图 14. 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形如图，在互补
5、四边形纸片ABCD 中， BA BC，ADCD ，AC 90，ADC30.将纸片先沿直线 BD 对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为 4 的平行四边形，则 CD 的长为_15. 如图，在 RtABC 中，B90，BC 2AB 8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 DE，将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，当EDC 旋转到 A，D，E 三点共线时，线段 BD 的长为_ 第 15 题图1. 4 或 8 【解析】由题可知，ABPCBP ，点 P 一定处于正方形对角线 BD 上，共存在两种情况使PBC 为直角三角形，(1)
6、 如解图，当 CPPB 时，有PC2PB 2BC 2.又CBP 45，PBPC ，BP4；(2) 如解图，当 P 点与 D 点重合时PBC 为直角三角形，BP BC8.2第 1 题解图2. 3 或 6 【解析】如解图，当AFE90时，设 BEx ，则EFx ，AE 8x，FCBC6，由勾股定理得AC 10，AF1064，在 RtAEF 中，4 2x 2(8x) 2，解得AB2 BC2x3，BE3；如解图，当AEF90 时，四边形 BCFE 是正方形，BEBC6.综上所述，BE3 或 6.第 2 题解图3. 5 或 6 【解析】如解图 ，当 PBPC 时，点 P 是 BC 的中垂线与 AD 的交
7、点，则APDP AD3，在 RtABP 中，由勾股定理可得 PB 5；如12 AP2 AB2 32 42解图，当 PBBC6 时，BPC 也是以 PB 为腰的等腰三角形综上所述，PB 的长度为 5 或 6.参考答案第 3 题解图4. 1 或 7 【解析】PDQ 是等腰三角形，分三种情况： 如解图，若点 P 在线段AB 上，DPQ90 ，PDPQ ，APD BPQ90，在矩形 ABCD 中，AB 90，APDADP90，ADP BPQ，DAPPBQ(AAS)，PBAD 3，AP431；如解图，若点 P 在线段 AB 的延长线上，PQ 交 CB的延长线于点 Q，PDPQ，同理可证ADPBPQ，AD
8、 PB，APABAD347；当 P 在线段 BA 的延长线上时，显然不成立，故 AP 的长为 1 或 7.第 4 题解图5. 8 或 24 【解析】如解图，BC6，BDCD21，BD4，在 RtABD 中，ADBDtanB 4 ，S ABC BCAD 6 8；如解图23 83 12 12 83，BC6，BDCD21，BD12，在 RtABD 中，ADBDtanB 12 8，S ABC BCAD 6824.ABC 面积的所有可能值23 12 12为 8 或 24.第 5 题解图6. 13 或 14 【解析】分为两种情况： 如解图，沿 MN 剪开，再沿 CQ 剪开( CDAB于点 D，MN 为AB
9、C 的中位线，CD 交 MN 于点 Q)，将 CQN 放在BFN 的位置上，CQM 放在AEM 的位置上，由三角形面积公式得 10 4CD，解得 CD5，MN 为12ABC 的中位线，CQDQ CD2.5，矩形 AEFB 的周长为(2.54) 213；如12解图，沿 NQ、MT 剪开(N、M 分别为 AC、BC 中点，EQBA 于点 Q，FTAB 于点T，CD AB 于点 D)，将AQN 放在CEN 的位置上，BTM 放在CFM 的位置上，由三角形面积公式得 10 4CD，解得 CD5，N 为 AC 中点，12CDEQ，AQDQ，同理 BTDT ，QT AB2， 矩形 EQTF 的周长为(52
10、)12214.故答案为 13 或 14.第 6 题解图7. 3 或 【解析】如解图，连接 BM，DN，AN ，得到四边形 BNDM 为菱形，41BMMD，AMMD AMBMAD8，在 RtABM 中，设 AMx，则BM8x，AB4，根据勾股定理得： x24 2(8x) 2，解得 x3，AM3，MD 5.当PB 和 PD 在 BD 上方时，点 P 与点 M 重合，则 APAM3；当 PB 和 PD 在 BD 下方时，点 P 与点 N 重合，由对称性得到 PDNDBN MD5，在 RtABN 中，AB4，BN5 ，根据勾股定理得：AN ，此时 APAN .AB2 BN2 42 52 41 41综上
11、所述，AP 的长为 3 或 .41第 7 题解图8. 1 或 2 【解析】当 CED90时，点 D 与点 A 重合，E 是 BC 的中点，如解图2.BC AB ( 2)2( 1)，BE BC 2( 1) 1；当2 2 2 212 12 2 2CDE90时，如解图 ，A90 ，ABAC，C45，CDE 是等腰直角三角形，CE DE，易得2BEDE ，CE BE，CEBE BEBE2( 1) BE2.综上所述，若2 2 2CDE 为直角三角形，则 BE 的长为 1 或 2.2第 8 题解图9. 6 或 3 【解析】AABC 90 ，2 5BCAD，CBEDFE，BECFED，CEDE，BECFED
12、(AAS) ，BEFE，四边形 BDFC 是平行四边形，当 BCBD3 时，在 RtABD 中，AB2 ，S 四边形 BDFC32 6 ；当 BCCD 3 时，如解图，过点 C 作32 12 2 2 2CGAF 于点 G，则四边形 ABCG 是矩形，AG BC 3，DG AGAD 312，在 RtCDG 中，CG ，S 四边形 BDFC3 3 ；BDCD 时，BC 边32 22 5 5 5上的中线应与 BC 垂直，从而 BC2AD2，矛盾，此时不成立故四边形 BDFC 面积为6 或 3 .2 5第 9 题解图10. 6 2 或 62 【解析】如解图，F 是线段 CD 上一动点，由翻折可知，7
13、7FEA FEA，CDAB，CFE AEF，CFECEF，CE CF，在RtBCE 中，EC 2 ，CF CE2 ，AB CD6，DF CD CBC2 EB2 （23）2 42 7 7F62 ；如解图，F 是 DC 延长线上一点，由翻折可知，7FEA FEA，CD AB，CFE BEF，CFECEF，CE CF，在 RtBCE 中，EC 2 ，CF CE2 ，AB CD6，DF CD CBC2 EB2 （23）2 42 7 7F62 ，故答案为 62 或 62 .7 7 7图 图第 10 题解图11. 或 3 【解析】如解图，当点 C在线段 AB 上时，AB5，BC3，在10 10RtABC
14、中，AC 4，以点 A 为旋转中心，旋转这个三角形至 ABC的位AB2 BC2置，AC4， BC1，BC3，BB ；如解图，当点 C（BC）2 （BC）2 10在线段 BA 的延长线上时，AB5，BC3，AC 4，以点 A 为旋转中心，旋转这个三角形至ABC的位置，BC9，BC 3，BB 3 .故长 BB（BC）2 （BC）2 10长为 或 3 .10 10图 图第 11 题解图12. 12 或 8 4 【解析】 当点 B在线段 BC 上，如解图，ABC 沿射线 BC 方向平3移得到ABC，AB AB4，BCBC6，ABC ABC 60，BC4，AB BC，ABC 为等边三角形，ABC 的周长
15、为 12；当点 B在线段 BC 的延长线上，如解图 ，作 BHAC ，ABC 沿射线 BC 方向平移得到ABC，ABAB4，ABCABC60，BC4，ABBC，BCABAC ，CH AH，而ABCBCABAC，BCA 30，在 RtBCH 中，BCH30，BH CB2，CH BH2 ，AC2CH4 ，ABC 的周长12 3 3 3444 84 .故答案为 12 或 84 .3 3 3第 12 题解图13. 4 或 8 【解析】如解图，当点 D在线段 AB 上时，AD AB BD312，E是 AD 的中点，AE DE，由折叠的性质得 ED ED，ED AE，A60，AED是等边三角形，AE AD
16、2，AD4.如解图，当点 D在 AB 的延长线上时，ADAB BD4.同理可知 AED是等边三角形，AE AD4，AD 8.图 图第 13 题解图14. 2 或 4 2 【 解析】如解图，作 CEAB 交 BD 于点 E，延长 CE 交 AD 于2 6 2 6点 F，连接 AE，过点 B 作 BGAE 于点 G，BABC ， 此时的平行四边形 ABCE 为菱形，BADBCD90 ，ADC30，ABCF ， CFD90，BCEBAEAEF 30 ，设 BG m，则 BA 2m，菱形 ABCE 的面积为4，2mm4，解得 m (负值舍去) ，AE CE BA 2 ，EF AEcos302 2 ，C
17、F2 ，在 RtCFD 中，CD2CF4 2 ；如解图，作 BEAD 交6 2 6 2 6CD 于点 E，作 BFCD 交 AD 于点 F，根据折叠与裁剪可知 BE BF，此时的平行四边形BEDF 也是菱形，BE FD， BECADC30，AC 90 ，设 BCn，则BE2n，CE n，菱形 BEDF 的面积为 4，2nn4，解得 n (负值舍去)，3 2BC ，DE BE2 ，CE ，CDCEDE2 ，综上所述，CD 的长为2 2 6 2 62 或 4 2 .2 6 2 6第 14 题解图15. 4 或 【解析】如解图，易得5125 5AC 4 ，CD4，CDAD ，AD AB2 BC2 5
18、 AC2 CD2 （45）2 42 80 168，AD BC，AB DC， B90，四边形 ABCD 是矩形，BD AC4 ；如解5图，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点P，AC4 ，CD4，CDAD ，AD 8，点 D、 E 分5 AC2 CD2 （45）2 42别是边 BC、 AC 的中点，DE AB2，AE AD DE826，CE 2 ，ECDACB12 ED2 CD2 5，ECADCB，又 ，ECADCB ， ，BD ECDC ACBC AEBD ECDC 52 652，综上所述，BD 的长为 4 或 .1255 5 1255第 15 题解图 第 15 题解图
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