1、2017-2018 学年山东省青岛市李沧区八年级（下）期中数学试卷一选择题（本题满分 24 分，共 8 小题，每小题 3 分）下列每小题都给出标号1已知实数 a，b 满足 a+1b+1，则下列选项错误的为（ ）Aab Ba+2b+2 Cab D2a3b2观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A BC D3等腰三角形有一个角是 90，则另两个角分别是（ ）A30，60 B45，45 C45，90 D20，704已知等腰三角形的两边长分别为 6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）A9cm B12cm C12cm 或 15cm D15cm5如图，在平面直角坐标系中，点 B、C、
2、E 在 y 轴上，RtABC 经过变换得到 RtODE，若点C 的坐标为（0，1），AC 2，则这种变换可以是（ ）AABC 绕点 C 逆时针旋转 90，再向下平移 1BABC 绕点 C 逆时针旋转 90，再向下平移 3CABC 绕点 C 顺时针旋转 90，再向下平移 1DABC 绕点 C 顺时针旋转 90，再向下平移 36已知不等式组 的解集是 x1，则 a 的取值范围是（ ）Aa1 Ba1 Ca1 Da17如图，在ABC 中，AB AC ，A20，以 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交 AC 于点 D，连接 BD，则ADB（ ）A100 B160 C80 D208如图，在ABC 中，AB
3、 AC 3cm，A120，AB 的垂直平分线分别交 AB，BC 于 D，E，则 EC 的长为（ ）A4cm B2 C5 D二填空题（本题满分 24 分，共 8 道小题，每小题 3 分）9若点（1，3a+1）在第二象限，则 a 的取值范围是 10如图，ABC 中，AB AC ，BAC50，将三角形 ABC 沿直线 BC 平移到DCE 的位置，连接 AD，则ADC 11一次生活常识竞赛共有 25 道题，答对一题得 4 分，不答题得 0 分，答错一题扣 2 分若小明有 2 道题没答，且竞赛成绩高于 80 分，则小明至多答错了 道题12如图，在ABC 中，ACB90，AC BC2cm，如果以 AC 的
4、中点 O 为旋转中心，将这个三角形旋转 180，点 B 落在点 D 处，连接 BD，那么线段 BD cm13若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48，则其顶角度数为 14已知在同一平面直角坐标系中，一次函数 y x+ 与 y x+2 的图象如图所示，那么不等式 x+ x+2 的解集为 15如图，在ABC 中，BAC90，AB3，AC 4 ，AD 平分BAC 交 BC 于 D，则 BD 的长为 16如图，点 A1 的坐标为（1，0），A 2 在 y 轴的正半轴上，且A 1A2O30，过点 A2 作A2A3A 1A2，垂足为 A2，交 x 轴于点 A3；过点 A3 作 A3A4A 2A3，垂足
5、为 A3，交 y 轴于点 A4；过点 A4 作 A4A5A 3A4，垂足为 A4，交 x 轴于点 A5；过点 A5 作 A5A6A 4A5，垂足为 A5，交 y轴于点 A6；按此规律进行下去，则点 A2016 的纵坐标为 三作图题（本题满分 4 分）17用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：ABC 和点 D、E，求作：在ABC 内部确定一点 P，使点 P 到ABC 的两边距离相等，并且 PDPE四、解答题18（20 分）计算：（1）解不等式：4（x+1）x+1（2）解不等式（3）解不等式组 ，并在数轴上表示不等式组的解集（4）解不等式23x5，并写出满足不等式的所有正整数解19（6
6、 分）如图，把一块等腰直角三角形零件（ABC，其中ACB90），放置在一凹槽内，三个顶点 A，B，C 分别落在凹槽内壁上，已知 ADEBED90，测得AD5cm，BE7cm，求该三角形零件的面积20（6 分）已知：如图，在ABC 中，ABAC ，BDAC 于 D，CEAB 于 E，连接 AF求证：AF 平分 BAC21（8 分）如图所示，在边长为 1 个单位的正方形网格中建立平面直角坐标系，ABC 的顶点均在格点上（1）A 1B1C1 与ABC 关于 y 轴对称，画出A 1B1C1（2）将A 1B1C1 绕点 C1 顺时针旋转 90，画出旋转后的 A 2B2C1；并直接写出点 A2、B 2 的
7、坐标22（9 分）某单位计划在“五一”小长假期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为 10至 25 人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人 2000 元经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠设该单位参加旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需费用为 y1 元，选择乙旅行社所需费用为 y2 元（1）请分别写出 y1，y 2 与 x 之间的关系式（2）若该单位共有 20 人要参加这次旅游，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？（3）若该单位最多愿意出的费用为 19400 元，则选择哪家旅行社可以使较多的员工去旅行？23
8、（9 分）提出问题：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（m +n）个点作为顶点，可把原 n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC 的 3 个顶点和它内部的 1 个点 P，共 4 个点为顶点，可把ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形？如图 ，显然，此时可把 ABC 分割成 3 个互不重叠的小三角形探究二：以ABC 的 3 个顶点和它内部的 2 个点 P、Q，共 5 个点为顶点，可把ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图ABC 的内部，再添加
9、1 个点 Q，那么点 Q 的位置会有两种情况：第一种情况，点 Q 在图分割成的某个小三角形内部不妨设点 Q 在PAC 的内部，如图；另一种情况，点 Q 在图分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点 Q 在 PA 上，如图显然，不管哪种情况，都可把ABC 分割成 5 个互不重叠的小三角形探究三：以ABC 的三个顶点和它内部的 3 个点 P、Q、R，共 6 个点为顶点，可把ABC 分割成 个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图探究四：以ABC 的三个顶点和它内部的 m 个点，共（m+3）个点为顶点，可把ABC 分割成 个互不重叠的小三角形探究拓展：以四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点
10、，共（m +4）个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形问题解决：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（m +n）个点作为顶点，可把原 n 边形分割成 个互不重叠的小三角形实际应用：以八边形的 8 个顶点和它内部的 2012 个点，共 2020 个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）24（10 分）如图，在直角三角形ABC 中，B90，AB12cm，BC16cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s 的速度移动P ， Q 分别从 A，B 同时出发，当一
11、个动点到达终点则另一动点也随之停止运动设运动时间为 t（s）（1）求 t 为何值时，PBQ 为等腰三角形？（2）是否存在某一时刻 t，使点 Q 在线段 AC 的垂直平分线上？（3）点 P、Q 在运动的过程中，是否存在某一时刻 t，直线 PQ 把ABC 的周长与面积同时分为1：2 两部分？若存在，求出 t，若不存在，请说明理由2017-2018 学年山东省青岛市李沧区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一选择题（本题满分 24 分，共 8 小题，每小题 3 分）下列每小题都给出标号1已知实数 a，b 满足 a+1b+1，则下列选项错误的为（ ）Aab Ba+2b+2 Cab D2a3b【分
12、析】根据不等式的性质即可得到 ab，a+2b+2，ab【解答】解：由不等式的性质得 ab，a+2b+2，ab故选：D【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题2观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；C、不是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形与
13、轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键3等腰三角形有一个角是 90，则另两个角分别是（ ）A30，60 B45，45 C45，90 D20，70【分析】由于等腰三角形的两底角相等，所以 90的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角【解答】解：等腰三角形的两底角相等，两底角的和为 1809090，两个底角分别为 45，45，故选：B【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；确定 90的角是三角形的顶角是正确解答本题的关键4已知等腰三角形的两边长分别为 6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）A9cm B12cm C12cm 或 15cm D15cm【分
14、析】题目给出等腰三角形有两条边长为 3cm 和 6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【解答】解：当腰为 3cm 时，3+36，不能构成三角形，因此这种情况不成立当腰为 6cm 时，6366+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为 6+6+315cm故选：D【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去5如图，在平面直角坐标系中，点 B、C、E 在 y 轴上，RtABC 经过变换
15、得到 RtODE，若点C 的坐标为（0，1），AC 2，则这种变换可以是（ ）AABC 绕点 C 逆时针旋转 90，再向下平移 1BABC 绕点 C 逆时针旋转 90，再向下平移 3CABC 绕点 C 顺时针旋转 90，再向下平移 1DABC 绕点 C 顺时针旋转 90，再向下平移 3【分析】观察图形可以看出，RtABC 通过变换得到 RtODE，应先旋转然后平移即可【解答】解：根据图形可以看出，ABC 绕点 C 顺时针旋转 90，再向下平移 3 个单位可以得到ODE 故选：D【点评】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键6已知不等式组 的解集是 x
16、1，则 a 的取值范围是（ ）Aa1 Ba1 Ca1 Da1【分析】利用不等式组取解集的方法判断确定出 a 的范围即可【解答】解：等式组 的解集是 x1，a1，故选：A【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键7如图，在ABC 中，AB AC ，A20，以 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交 AC 于点 D，连接 BD，则ADB （ ）A100 B160 C80 D20【分析】在ABC 中可求得ACB ABC80，在 BCD 中可求得BDC80，可求出ADB【解答】解：ABAC，A20，ABCACB80，又BCBD，BDCBCD80，ADB18080100，故
17、选：A【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用8如图，在ABC 中，AB AC 3cm，A120，AB 的垂直平分线分别交 AB，BC 于 D，E，则 EC 的长为（ ）A4cm B2 C5 D【分析】根据等腰三角形两底角相等求出BC30，连接 AE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AEBE，再利用等边对等角求出BAEB30，然后求出CAE90，解直角三角形即可得到结论【解答】解：ABAC，A120，BC （180120）30，连接 AE，AB 的垂直平分线交 BC 于 E，AEBE，EAB B30，A120，EAC90，
18、CE 2 ，故选：B【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键二填空题（本题满分 24 分，共 8 道小题，每小题 3 分）9若点（1，3a+1）在第二象限，则 a 的取值范围是 a 【分析】根据点的位置得出不等式，求出不等式的解集即可【解答】解：点（1，3a+1）在第二象限，3a+10，解得：a ，故答案为：a 【点评】本题考查了解一元一次不等式和点的坐标，能根据题意得出不等式是解此题的关键10如图，ABC 中，AB AC ，BAC50，将三角形 AB
19、C 沿直线 BC 平移到DCE 的位置，连接 AD，则ADC 65 【分析】根据平移得出 AD BC，ABDC，根据平行线的性质得出ADCDCE，BDCE，求出ADCB，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出B 即可【解答】解：将三角形 ABC 沿直线 BC 平移到DCE 的位置，ADBC，AB DC ，ADCDCE，BDCE，ADCB，在ABC 中，AB AC， BAC50，BACB （180BAC）65，ADC65，故答案为：65【点评】本题考查了平移的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，能求出ADCB 和B 的度数是解此题的关键11一次生活常识竞赛共有 25
20、 道题，答对一题得 4 分，不答题得 0 分，答错一题扣 2 分若小明有 2 道题没答，且竞赛成绩高于 80 分，则小明至多答错了 2 道题【分析】关键描述语：竞赛成绩至少有 80 分，即答对题的总分减去答错题的总分应大于等于80，列出不等式求解即可【解答】解：小明最多答错了 x 道题，则答对了 25x2 道题，依题意得：4（25x2）2x80解得：x2故小明最多答错了 2 道题故答案为：2【点评】此题考查一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，正确地表示用代数式，表示出小明的得分是解决本题的关键12如图，在ABC 中，ACB90，AC BC2c
21、m，如果以 AC 的中点 O 为旋转中心，将这个三角形旋转 180，点 B 落在点 D 处，连接 BD，那么线段 BD 2 cm cm【分析】根据旋转的性质可知，点 B 与 D 重合，那么点 D 与点 B 的距离是 2OB，由勾股定理可得 OB 的大小【解答】解：如图，C 90，AC BC2cm，O 为 AC 的中点，OB cm，根据旋转的性质可知，点 B 与 D 重合，BD2OB 2 cm故答案为 2 cm【点评】此题主要考查等腰直角三角形的性质和旋转的性质，得出 BD2OB 是关键13若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48，则其顶角度数为 42 或 138 【分析】分两种情况：等腰三
22、角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可【解答】解：如图 1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是 90+48138；如图 1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是 904842故答案为：42 或 138【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和14已知在同一平面直角坐标系中，一次函数 y x+ 与 y x+2 的图象如图所示，那么不等式 x+ x+2 的解集为 x 1 【分析】根据两函数
23、的交点坐标得出不等式的解集即可【解答】解：从图象可知：两一次函数 y x+ 与 y x+2 的图象的交点坐标是（1， ），不等式 x+ x+2 的解集为 x1，故答案为：x1【点评】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，能了解两一次函数的交点坐标与一元一次不等式的解集的关系是解此题的关键15如图，在ABC 中，BAC90，AB3，AC 4 ，AD 平分BAC 交 BC 于 D，则 BD 的长为 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点 D 到 AC 的距离也等于 DE，然后利用 ABC 的面积列方程求出 DE，再判断出ADE 是等腰直角三
24、角形，根据等腰直角三角形的性质求出 AE，再求出 BE，然后利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 于 E，AD 平分BAC，点 D 到 AC 的距离也等于 DE，S ABC 3DE+ 4DE 34，解得 DE ，AD 平分BAC，BAC 90，DAE45，ADE 是等腰直角三角形，AEDE ，BE3 ，在 Rt BDE 中，BD 故答案为： 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形是解题的关键16如图，点 A1 的坐标为（1，0），A 2 在 y 轴的正半轴上，且A
25、1A2O30，过点 A2 作A2A3A 1A2，垂足为 A2，交 x 轴于点 A3；过点 A3 作 A3A4A 2A3，垂足为 A3，交 y 轴于点 A4；过点 A4 作 A4A5A 3A4，垂足为 A4，交 x 轴于点 A5；过点 A5 作 A5A6A 4A5，垂足为 A5，交 y轴于点 A6；按此规律进行下去，则点 A2016 的纵坐标为 （ ） 2015 【分析】先求出 A1、A 2、A 3、A 4、A 5 坐标，探究规律，利用规律解决问题【解答】解：A 1（1，0），A 20，（ ） 1，A 3（ ） 2，0A 40，（ ） 3，A 5（） 4，0，序号除以 4 整除的话在 y 轴的负
26、半轴上，余数是 1 在 x 轴的正半轴上，余数是 2 在 y 轴的正半轴上，余数是 3 在 x 轴的负半轴上，20164504，A 2016 在 y 轴的负半轴上，纵坐标为（ ） 2015故答案为（ ） 2015【点评】本题考查坐标与图形的性质、规律型题目，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型三作图题（本题满分 4 分）17用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：ABC 和点 D、E，求作：在ABC 内部确定一点 P，使点 P 到ABC 的两边距离相等，并且 PDPE【分析】分别作出 DE 的垂直平分线及 ABC 的平分线，两条直线的交点即为 P 点
27、的位置【解答】解：如图所示，点 P 为所求【点评】本题考查了作图复杂作图，涉及的是角平分线及线段垂直平分线的作法，需同学们熟练掌握四、解答题18（20 分）计算：（1）解不等式：4（x+1）x+1（2）解不等式（3）解不等式组 ，并在数轴上表示不等式组的解集（4）解不等式23x5，并写出满足不等式的所有正整数解【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得；（3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可（4）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，据此可得正整数解【解答】解：（1）4x+4x+1，
28、4x+x14，5x3，x ；（2）3（x1）2（6x ），3x3122x，3x+2x12+3，5x15，x3；（3）解不等式 3x+22（x +3），得：x4，解不等式 3x24 x，得： x ，则不等式组的解集为 x4，表示在数轴上如下：（4）解不等式 3x2，得：x5，解不等式 3x5，得：x 2，则不等式组的解集为2x5，所以该不等式组的正整数解为 1、2、3、4【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19（6 分）如图，把一块等腰直角三角形零件（ABC，其中ACB90），放置在一凹槽内，三个
29、顶点 A，B，C 分别落在凹槽内壁上，已知 ADEBED90，测得AD5cm，BE7cm，求该三角形零件的面积【分析】首先证明ADCCEB，根据全等三角形的性质可得 DCBE7cm，再利用勾股定理计算出 AC 长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可【解答】解：ABC 是等腰直角三角形，ACBC，ACB90，ACD+BCE90，ADC90，ACD+DAC90，DACBCE，在ADC 和CEB 中， ，ADCCEB（AAS），DCBE 7cm，AC （cm），BCAC ，该零件的面积为： 37（cm 2）【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是掌握全等三角形的
30、判定方法20（6 分）已知：如图，在ABC 中，ABAC ，BDAC 于 D，CEAB 于 E，连接 AF求证：AF 平分 BAC【分析】先根据 ABAC，可得ABC ACB，再由垂直，可得 90的角，在BCE 和BCD 中，利用内角和为 180，可分别求BCE 和DBC，利用等量减等量差相等，可得FBFC，再易证 ABFACF ，从而证出 AF 平分BAC【解答】证明：ABAC（已知），ABCACB（等边对等角）BD、CE 分别是高，BDAC，CEAB （高的定义）CEBBDC90ECB90ABC，DBC90ACBECBDBC（等量代换）FBFC（等角对等边），在ABF 和ACF 中，ABF
31、 ACF（SSS），BAF CAF（全等三角形对应角相等），AF 平分BAC【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；等量减等量差相等的利用是解答本题的关键21（8 分）如图所示，在边长为 1 个单位的正方形网格中建立平面直角坐标系，ABC 的顶点均在格点上（1）A 1B1C1 与ABC 关于 y 轴对称，画出A 1B1C1（2）将A 1B1C1 绕点 C1 顺时针旋转 90，画出旋转后的 A 2B2C1；并直接写出点 A2、B 2 的坐标【分析】（1）根据关于 y 轴对称的点的坐标特征写出 A1、B 1、C 1 的坐标，然后描点即可得到A 1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的
32、性质，分别作出 A1、B 1 对称点 A2、B 2，从而得到A 2B2C2【解答】解：（1）如图，A 1B1C1 为所作；（2）如图，A 2B2C1 为所作，点 A2、B 2 的坐标分别为（2，1），（0，0）【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了轴对称变换22（9 分）某单位计划在“五一”小长假期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为 10至 25 人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人 2000 元经过协商，甲旅行社表示
33、可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠设该单位参加旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需费用为 y1 元，选择乙旅行社所需费用为 y2 元（1）请分别写出 y1，y 2 与 x 之间的关系式（2）若该单位共有 20 人要参加这次旅游，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？（3）若该单位最多愿意出的费用为 19400 元，则选择哪家旅行社可以使较多的员工去旅行？【分析】（1）根据题意直接得到（2）把 x20 直接代入可得（3）把 y19400 代入可得【解答】解：（1）y 120000.75x1500xy220000.8（x 1）1600x 1600（
34、2）当 x20 时，y 130000当 x20 时，y 230400y 1y 2选择甲旅行社（3）当 y19400 时，194001500x 1x1当 y19400 时，194001600x 21600x2 选乙旅行社【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是列出两个解析式23（9 分）提出问题：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（m +n）个点作为顶点，可把原 n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC 的 3 个顶点和它内部的 1 个点 P，共 4 个点为顶点，可把ABC 分
35、割成多少个互不重叠的小三角形？如图 ，显然，此时可把 ABC 分割成 3 个互不重叠的小三角形探究二：以ABC 的 3 个顶点和它内部的 2 个点 P、Q，共 5 个点为顶点，可把ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图ABC 的内部，再添加 1 个点 Q，那么点 Q 的位置会有两种情况：第一种情况，点 Q 在图分割成的某个小三角形内部不妨设点 Q 在PAC 的内部，如图；另一种情况，点 Q 在图分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点 Q 在 PA 上，如图显然，不管哪种情况，都可把ABC 分割成 5 个互不重叠的小三角形探究三：以ABC 的三个顶点和它内部的
36、3 个点 P、Q、R，共 6 个点为顶点，可把ABC 分割成 7 个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图探究四：以ABC 的三个顶点和它内部的 m 个点，共（m+3）个点为顶点，可把ABC 分割成 （2m+1） 个互不重叠的小三角形探究拓展：以四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点，共（m +4）个点为顶点，可把四边形分割成 （2m+2） 个互不重叠的小三角形问题解决：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（m +n）个点作为顶点，可把原 n 边形分割成 （2m+n2） 个互不重叠的小三角形实际应用：以八边形的 8 个顶点和它内部的 2012 个点，共 2020 个顶点
37、，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）【分析】探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可；探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加 2 部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可；探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解；问题解决：根据规律，把相应的点数换成 m、n 整理即可得解；实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解【解答】解：探究三：分割示意图不唯一，如下图所示：可把ABC 分割成 7 个互不重叠的小三角形，故答案为：7；探究四：三角形内部 1 个点时，共分割成
38、3 部分，33+2（11），三角形内部 2 个点时，共分割成 5 部分，53+2（21），三角形内部 3 个点时，共分割成 7 部分，73+2（31），所以，三角形内部有 m 个点时， 3+2（m 1）2m +1，故答案为：（2m+1）；探究拓展：四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点，则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m1）2m+2，故答案为：（2m+2）；问题解决：n+2（m1）2m +n2，故答案为：（2m+n2）；实际应用：把 n8，m2012 代入上述代数式，得2m+n 2，22012+82，4024+82，4030【点评】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读
39、懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加 2 是解题的关键24（10 分）如图，在直角三角形ABC 中，B90，AB12cm，BC16cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s 的速度移动P ， Q 分别从 A，B 同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动设运动时间为 t（s）（1）求 t 为何值时，PBQ 为等腰三角形？（2）是否存在某一时刻 t，使点 Q 在线段 AC 的垂直平分线上？（3）点 P、Q 在运动的过程中，是否存在某一时刻 t，直线 PQ 把ABC 的周长
40、与面积同时分为1：2 两部分？若存在，求出 t，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意求出 AP2t ，BQ 4t ，根据等腰三角形的概念列出方程，解方程即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到 QCQA，根据勾股定理表示出 AQ，根据题意列出方程，解方程即可；（3）分 AC+AP+CQ2（BP+BQ）、2（AC +AP+CQ）BP+BQ 两种情况，根据周长公式求出 t，根据三角形的面积公式判断即可【解答】解：（1）由题意得，AP2t ，BQ 4t ，则 BP122t，当PBQ 为等腰三角形时，只有 BPBQ，122t4t，解得，t2；（2）当点 Q 在线段 AC 的垂直平分线上时，QCQ
41、A，设 BQx，则 16x，解得，x3.5，即 BQ3.5，t （秒）；（3）在 RtABC 中，AC 20，ABC 的面积 ABBC96cm 2，当直线 PQ 把ABC 的周长分为 1：2 两部分时，当 AC+AP+CQ2（BP +BQ）时，20+2t+164t2（122t+4t），解得，t2，则 PB1248，BQ 428，则BPQ 的面积 PBQB32，四边形 CAPQ 的面积963264，BPQ 的面积：四边形 CAPQ 的面积1：2，当 t2 时，直线 PQ 把ABC 的周长与面积同时分为 1：2 两部分，当 2（AC+AP+CQ ）BP +BQ 时，2（20+2t+164t）122t+4t，解得，t10（不合题意），当 t2 时，直线 PQ 把ABC 的周长与面积同时分为 1：2 两部分【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键
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