1、专题 03 函数性质灵活应用一陷阱描述1.概念类陷阱，包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“ ”符号等几点内容，要深刻理解这几 个概念的内涵。（1）利用两个特值证明单调性。函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值 且 ，若 则函数 是增函数；若 则函数 是减函数。（2）单调区间的开闭。求函数的单调区间时，如果在端点处有定义为闭，如果在端点处没有定义为开。（3）单调区间使用“ ”符号。函数的单调区间有多个时，不能用“ ”符号，只能用“和” “， ”连接。分类讨论陷阱，含参数的讨论问题。在处理含参数函数单调性问题时，讨论时要做到不重不漏。隐含条件陷阱，求函数
2、的单调区间必须在函数的定义域范围内讨论。等价转化陷阱，分段函数的连接点。在处理分段函数单调性时，注意连接点函数值。迷惑性陷阱，函数的主变元问题。给出含 和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范围求的范围时，往往是把那个字母作为自变量。2.定义域限制陷阱3.特殊的函数值问题4.利用性质解决抽象函数问题5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用6.函数性质与导数综合7.数形结合求参数8.恒成立求参数9 .单调性求参数，区间的开闭（概念类）10. 分段函数的连接点（等价转化）11.主变元问题（迷惑性）二陷阱例题分析及训练（一）函数图象问题例 1函数 f(x)lnx x2 的图像大致是( )A B C
3、 D【答案】B【点评】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复练习 1 【湖南省长沙市一中 2019 届高三高考模拟】如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 4m 和 am(0a12)，不考虑树的粗细.先用 16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃 ABCD，设此矩形花圃的最大面积为 u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数 u=f（a ） （单位： 2m）的图象大致是(
4、)A B C D【答案】C【解析】设 D长为 x，则 C长为 16x ，又因为要将 P点围在矩形 ABC内， 12ax，则矩形 B的面积为 ，当 08a时，当且仅当 8x时， 64u，当 8时， ，分段画出函数图形可得其形状与 C 接近，故选 C.点评：本题主要考查了函数在实际生活中的应用，解决本题的关键是将面积的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出面积的解析式；求矩形 ABCD面积的表达式，又要注意 P点在长方形ABCD内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论判断函数的图象即可.练习 2若函数 的图像如图所示，则实数 的值可能为（ ）A B
5、 C D【答案】B点评：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图像信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解。2 特殊函数值（概念类）例 2 【衡水 2019 模拟试题】 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 是偶函数，若 ，则的值为A B C D【答案】D【解析】 函数 是定义在 内的奇函数， 是偶函数，且的周期为故选练习 1已知函数 是单调函数，且 对 xR恒成立，则（ ）A0 B6 C12 D18【答案】D【解析】：函数 是单调函数，且 对 xR恒成立，存在唯一的常数 c，使得 ，即 ，则 14cf，即，
6、得 ，解得 3c，则，故选 D3.定义域陷阱例 3 【福建 2019 模拟】已知函数 在区间 2,4上是增函数，则实数 a的取值范围是（ ）A B (1,) C 1(,)4 D 1(0,)8【答案】B【解析】令 ，且 1)a，当 时，由 gx在 2,4上单调递增，根据对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性可得 0412a，解得 1a，当 01a时，由gx在 2,4上单调递减，可得2041ga，解得 ，综上可得 1，故选 B. 考点：1、对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性；2、不等式的解法.【方法】本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性、
7、不等式的解法，属于难题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.练习 1.【河南省名校联盟 2019 届高三年级 11 月调研】已知定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于 y 轴对称，且函数 f（x）在（，0 上单调递减，则不等式f（x）f （2x1）的解集为A （， ） （1，） B （，1）（ ， ）C （ ，1） D （1， ）【答案】A【分析】函数图像关于 轴对称，故函数在 上递增，由此
8、得到 ，两边平方后可解得这个不等式.【解析】依题意，函数 是偶函数，且 在 上单调递增，故 ，故选 A.【点评】本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题.4.利用性质解决抽象函数问题例 4 【2019 山东模拟】给出下列说法：集合 与集合 是相等集合；若函数 )(xf的定义域为 2,0，则函数 )2(xf的定义域为 4,0；函数 21y的单调减区间是 ；不存在实数 m，使 为奇函数；若 ，且 2)1(f，则 .其中正确说法的序号是（ ）A B C D【答案】D【解析】中 A 集合与 B 集合都表示所有奇数组成的集合，是相等集合.中若函数 )(xf定义域为,
9、20由 2,0x得 1,即函数 )2(xf的定义域为 1,0，故错误.函数 21y的单调减区间是故错误.函数 的定义域为 R，若函数为奇函数，则矛盾，所以对任意实数 m,函数 不会是奇函数，故错误.若则 所以，故正确.选 D.练习 1已知定义在区间 上的函数 满足 ，且当 时， .（1）求 的值；（2）证明： 为单调增函数；（3）若 ，求 在 上的最值.【答案】 （1）f（1）=0 （2）见解析（3）最小值为 2，最大值为 3【解析】 （1）利用赋值法进行求 的值； （2）根据函数的单调性的定义判断 在 上的单调性，并证明（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值试题解析：（1）函
10、数 f（x）满足 f（x 1x2）=f（x 1）+ f（x 2） ，令 x1=x2=1，则 f（1）=f（1）+f（1） ，解得 f（1）=0 （2）证明：（2）设 x1，x 2（0，+） ，且 x1x 2，则 1，f（ ）0，f（x 1） f（x 2）=f（x 2 ） f（x 2）=f（x 2）+f（ ） f（x 2）=f（ ）0， 即 f（x 1）f （x 2） ，f（x）在（0，+）上的是增函数（3）f（x）在（0，+）上的是增函数若 ，则 f（ ）+f （ ）=f（ ）= 2，即 f（ 5）=f（1）=f（ ）+f（5）=0，即 f（5）=1 ，则 f（5）+f（5）=f（25）=2，
11、f（5）+f（25）=f（125）=3，即 f（x）在 上的最小值为 2，最大值为 3 【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义 和单调性的应用是解决本题的关键练习 2已知函数 f(x)是定义在 R上的不恒为零的函数，且对于任意实数 x， y满足：，考查下列结论： f(1)=； f(x)为奇函数；数列na为等差数列；数列 nb为等比数列。以上命题正确的是 【答案】【解析】因为对定义域内任意 x， y， f()满足 ，令 1xy，得 0f（ ） ，故错误；令 1xy，得 0f（ ） ；令 1，有 ，代入10f
12、（ ）得 ，故 fx（ ） 是 （ ， ） 上的奇函数故正确；若 2nfa(*)nN，则为常数，故数列 na 为等差数列，故正确； 2f（ ） ， ，当 xy时，则 ，则 ，若 ，则为常数，则数列 nb为等比数列， 故正确，故答案为：【方法点晴】本题主要考查抽象函数的应用，抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如 ，它的原型就是ykx；可通过赋特殊值法使问题得以解决，在该题中结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键
13、.5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用例 5. 已知函数 fx的定义域为 R的奇函数，当 0,1x时， 3fx，且 xR，则 （ ）A. 18 B. C. 0 D. 1【答案】B【解析】 fx的定义域为 R的奇函数， ，即 ，把 x 换成 x-2，可得： ，又 ， ，故函数周期为 T=4，又 ，当 0,1x时， 3fx， 8【防陷阱措施】抽象函数的周期性：（1）若 ，则函数 fx周期为 T；（2）若 ，则 fx函数周期为（3）若 ，则函数的周期为 2a；（4）若 ，则函数的周期为 2a.练习 1. 已知偶函数 fx与奇函数 gx的定义域都是 ,2，它们在 0,2上的图象如图所示，则使关于
14、x的不等式 成立的 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示：当 01x时， 0fx， gx， ；当 12x时， 0fx， g， ，故当 时，其解集为 1,2， yf是偶函数， y是奇函数， fxg是奇函数，由奇函数的对称性可得：当 0x时，其解集为 ,0，综上：不等式 的解集是 ，故选 C.练习 2. 已知函数 fx是定义域为 R的偶函数，且 ，若 fx在 1,0上是减函数，记， ， 0.52cf，则（ ）A. acb B. a C. ba D. bc【答案】A练习 3.已知 fx是定义在 R上的偶函数，并且 ，当 23x时， ，则 2017.5f的值为_. 【答
15、案】3【解析】由 ，得 ，所以 fx是周期为 4的周期函数. .又 fx是定义在 R上的偶函数，所以 .所以 .6.函数性质与导数综合例 6 【2018 雅安模拟】已知函数 ，实数 m， n满足 0，若1 xmn， ，使得 成立，则 n的最大值为（ ）A4 B 23 C.43 D 25【答案】A【解析】 ，则当 01x时， 0gx；当 1时， 0gx，. ，作函数 yf的图象如图所示，当 2f时，方程两根分别为 5和 1，则 nm的最大值为 154.故选 A.考点：函数的图象和性质.【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，
16、可结 合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处 理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.练习 1若三次函数 在 ， 上是减函数，则 m的取值范围是（ ）A 0， B 1，C ， D ，【答案】A【解析】试题分析：因为三次函数 在 ， 上是减函数，所以有，得 故选 A.考点：利用导数研究函数的单调性.练习 2已知函数 ，若对任意的 ，且 12x时，则实数 a的取值范围为（ ）A2,4eB2,e
17、C2,3eD 2,e【答案】B【解析】由题意得 yfx 在 1,2 上单调递增; 当 0a 时, fx 在 1,2 上单调递增,所以由;当 0a 时, ,由 ,因此fx的单调增区间为 ,所以由 ;综上实数 a的取值范围为2,e,选 B.练习 3设函数 为自然对数的底数） ，定义在 R上的连续函数 fx满足：，且当 0x时， fx，若存在 ，使得，则实数 a的取值范围为（ ）A B ,2e C 1,2e D【答案】B【解析】设 ，则 ，故函数 是区间 ,0上的 单调递减函数，又 ； ，则函数是奇函数，所以函数 是区间 ,上的单调递减函数；由题设中 可得： ，所以问题转化为 在,1上有解，即 2x
18、ae在 ,1上有解，令 ，则 ，故在 ,1上答单调递增，则 ，应选答案 B。点睛：解答本题的关键是对题意的理解，求解时先构造函数 ，后对其求导，判断其函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，然后将问题进行等价转化为 2xae在 ,1上有解，然后运用导数求出函数 2xae在 ,1上的值域，使得问题获解。7.数形结合求参数例 7. 【2019 湖南师大附中模拟】已知函数 在 0 2， 上是减函数，则实数a的取值范围是 【陷阱提示】把不等式看成是关于 的不等式m【防错良方】本题含有两个变量 ，因为对任意的 不等式恒成立，所以主变元是 ，而不是,x1,m，本题及其容易习惯把 当主变元，看成是 关于的二次不等式，从而我解题带来麻烦. x
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