1、专题 33 解不等式的方法一 【学习目标】1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法3熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法二 【知识要点】1一元一次不等式一元一次不等式 axb(a0) 的解集为：(1)a0 时， x(2)a0(a0)或 ax2bxc0(a0)的解集的各种情况如下表一元二次不等式 ax2bx c 0(a0)求解过程的程序框图如下三典例分析（一） 分式不等式的解法1设集合 ，集合 ，则 （ ）A B C D【答案】D【解析】A x|2x4，Bx|x 1；ABx|1x4故选 ：D练习 1若函数 是奇函数
2、，则使 成立的 的取值范围是( )A B C D【答案】D练习 2已知 aR，不等式 的解集为 p，且2 p，则 a 的取值范围为( )A (3，) B(3,2)C(，2)(3，) D(，3)2，)【答案】D【解析】2p， 0的解集为( )A (，2)(1，)B(，2)(1,2)C(，1)(1,0)(2，)D(，1)(1,1)(3，)【答案】D【解析】由 f(x)的图象可知，在(，1) ，(1，) 上，f (x)0，在(1,1)上，f(x)0，得 或 即 或 ，所以不等式的解集为( ，1)(1,1)(3 ，) 练习 3已知函数 若函数 有 3 个零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】作出
3、函数图像可知： 当 时有三个交点，故实数 的取值范围是（三）抽象不等式例 3定义在 R上的函数 fx，对任意的 xR都有 且当 0x时， ，则不等式 0xf的解集为_ 【答案】【解析】当 0x时，由 ，得 2x；由 ，得 02x. ，函数 fx为奇函数。当 0时，由 ，得 20x；由 ，得 2x.不等式 xf等价于 0 xf或 f，解得 02或 。不等式 xf的解集为 。答案： 练习 1已知奇函数 fx是 R上的单调函数，若函数 只有一个零点，则实数 k 的值是 【答案】 4【解析】试题分析： 由题意得： 只有一解，即 ， 2xk只有一解，因此（四）无理不等式例 4设 fx是定义在 R上的可导
4、函数，且满足 ，则不等式的解集为_ 【答案】 12x【解析】 ，函数 在 R上单调递增。 ， ,即 ， , ，解得 12x。所以原不等式的解集为 ,。答案： 1,2。练习 1若不等式 的解集为 ，且 ，则 的取值集合为_.【答案】【解析】【分析】不等式的解集应该是曲线 位于直线 上方的部分为符合题意的图象，观察其横坐标，可得是方程 的一个解，且 ，建立方程组，解之可得 的取值集合.【点睛】本题主要考查不等式的求解以及数形结合的应用，属于中档题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质
5、，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质练习 2不等式 的解集非空，则 k 的取值范围为 _【答 案】【解析】由 kx10 ，得 kx1，设 f(x) ，g(x) kx1，显 然函数 f(x)和 g(x)的定义域都为2,2令 y ，两边平方得 x2y 24，故函数 f(x)的图象是以原点 O 为圆心，2 为半径的圆在 x 轴上及其上方的部分而函数 g(x)的图象是直线 l：ykx1 在2,2 内的部分，该直线过点C(0，1)，斜率为 k.如图，作出函数 f(x)，g( x
6、)的图象，不等式的解集非空，即直线 l 和半圆有公共点，可知 k 的几何意义就是半圆上的点与点 C(0，1)连线的斜率由图可知 A( 2,0)，B(2,0)，故 kAC ，k BC .要使直线和半圆有公共点，则 k 或 k .所以 k 的取值范围为( ， ，)（五）含参数的不等式例 5要使关于 的方程 的一根比 1 大且另一根比 1 小，则 的取值范围是_ 【答案】 （1）f（x）=x 2-2x+3；（2）m 的值为-1 ；（3）6 ，+） （2）由于 f（x）=x 2-2x+3=（x-1） 2+2，函数 y=f（log 3x+m）=（log 3x+m-1） 2+2，令 t=log3x， （-
7、1t1） ，则 y=（t+m-1） 2+2，由题意可知最小值只能在端点处取得，若 t=1 时，取得最小值 3，即有 m2+2=3， 解得 m=1，当 m=1 时，函数 y=t2+2 在区间-1，1的最小值为 2，则 m=1 舍去；当 m=-1 时，函数 y=（t-2） 2+2 在区间-1，1递减，可得 t=1 时取得最小值且为 3；若 t=-1 时，取得最小值 3，即有（m-2） 2+2=3，解得 m=3 或 1，当 m=1 时，函数 y=t2+2 在区间-1，1的最小值为 2，则 m=1 舍去；当 m=3 时，函数 y=（t+2） 2+2 在区间-1，1递增，可得 t=-1 时取得最小值且为 3结合 可知 .（3）由于 f（x）=x 2-2x+3=（x-1） 2+2，即有 f（x）在（2，4）递增，设 x1x 2，则 f（x 1）f（x 2） ，|f（x 1）-f（x 2）|k|x 1-x2|即为 f（x 1）-f（x 2）k（x 1-x2） ，即有 f（x 1）-kx 1f（x 2）-kx 2，由题意可得 g（x）=f（x）-kx 在（2，4）递减由 g（x）=x 2-（2+k）x+3，对称轴为 ，即有 ，解得 k6，则实数 k 的取值范围为6，+）
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