1、专题 27 快速解决圆锥曲线的方程与性质问题一 【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。一 【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点 12,F的距离的和等于常数(大于 12,F之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 12,F叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距2椭圆的标准方程(1) ，焦点 ，其中 (2) ，焦点 ，其中3椭圆的几何性质以 为例(1)范围： (2)对称性：对称轴： x轴， y轴；对称中心： (0,)O(3)顶点：长轴端点： ，短轴端点： ；长轴
2、长 12|Aa，短轴长12|Bb，焦距 12|Fc.(4)离心率 越大，椭圆越扁， e越小，椭圆越圆(5) ,abc的关系： 22ab.4双曲线的定义： 平面内与两个定点 12,F的距离的差的绝对值等于常数( 小于 12,F之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点 12,叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距5双曲线的标准方程(1) ，焦点 ，其中 (2) ，焦点 ，其中6双曲线的几何性质以 为例(1)范围： (2)对称性：对称轴： x轴， y轴；对称中心： (0,)O(3)顶点：实轴端点： ，虚轴端点： ；实轴长 12|Aa，虚轴长12|Bb，焦距 12|Fc.(4)离心率 ,cea(5) 渐
3、近线方程 yx.7抛物线的定义： 练习 3如图，双曲线 的左、右焦点分别是 ， ， 是双曲线右支上一点， 与圆相切于点 ， 是 的中点，则 （ ）A 1 B2 C D【答案】A【解析】因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ；又 ，所以有 ，所以 ，所以，由双曲线的定义知： ，所以 .故选 A（三）抛物线的性质例 3已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点，若 ，则直线 的斜率为( )A 3 B1 C2 D【答案】B【解析】由于 为 中点，根据抛物线的定义 ，解得 ，抛物线方程为 .设 ，则 ，两式相减并化简得，即直线 的斜率为 ，故选 B.练习 1如图点
4、 是抛物线 的焦点，点 ， 分别在抛物线 及圆 的实线部分上运动，且 始终平行于 轴，则 的周长的取值范围是（ ） A B C D【答案】C【解析】抛物线的准线 ，焦点 ，由抛物线定义可得 ，圆 的圆心为 ，半径为 4， 的周长 ，由抛物线 及圆 可得交点的横坐标为 2， ， ，故选 C.练习 2已知 P 为抛物线 y2 4x 上一 动点，记点 P 到 y 轴的距离为 d，对于定点 A(4,5)，则| PA| d 的最小值为( )A 4 B C 1 D 1【答案】D【解析】抛物线 的焦点 ，准线 如图所示，过点 作 交 轴于点 ，垂足为 ，则 ， ， ，故选 D练习 3如图，已知 ， 分别为抛
5、物线 的顶点和焦点，斜率为 的直线 经过点 与抛物线 交于 ，两点，连接 ， 并延长分别交抛物线的准线于点 ， ，则 （ ）A B C D【答案】B【解析】由抛物线的几何性 质可知： ，设 ， ，由 ， ，知 ，联立直线 与抛物线的方程 消 有 ，由韦达定理知 ，所以 ，故选 B.（四）椭圆与双曲线例 4若椭圆 与双曲线 有公共的焦点 ， ，点 是两条曲线的交点， ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，且 ，则 （ ）A B C D【答案】B【解析】不妨设 P 在第一象限，再设 PF1s，PF 2t ，由椭圆的定义可得 s+t2a 1，由双曲线的定义可得 st2 a2，解得 sa 1+a2，
6、t a 1a 2，由F 1PF2 ，可得 ，由 e1e21，即 ，得： ，解得： （舍） ，或 ，即 故选：B练习 1如图，离心率为 2 的双曲线 与椭圆 有共同的焦点 ， 分别是 ，在第一、三象限的交点，若四边形 是矩形，则椭圆 的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】设|PF 1|x，|PF 2|y，点 P 为椭圆 上的点，|PF 1|+|PF2|2a=x +y；又四边形 PF1QF2 为矩形， 即 x2+y2（2c）2=4 ，设双曲线 C1 的实轴长为 2m，焦距为 2c，且 =2 则 2m|PF 1|PF 2|x-y ，2+ 2 可得 x2+y22 =4 将 代入中 ,椭圆 C
7、2 的离心率 e= ，故选：D练习 2已知 为椭圆 的左顶点,该椭圆与双曲线 的渐近线在第一象限内的交点为 ，若直线 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为A B C D【答案】D练 习 3已知 是椭圆和双曲线的公共焦点，点 是它们的一个公共点，且 ，设椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值为( )A B C D【答案】D【解析】设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴为 ，半焦距为 ，由题意，设点 P 是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且 ，则根据椭圆和双曲线的定义可得 ，则 ，又由 ，在 中，由正弦定理得 ，即 ，故选 D.（五）圆锥曲线与内切圆例 5已知椭圆： 的左右焦点分别为
8、， 为椭圆上的一点 与椭圆交于 。若的内切圆与线段 在其中点处相切，与 切于 ，则椭圆的离心率为( )A B C D【答案】D【解析】结合题意可知 结合内切圆的性质,可得 ,结合椭圆的性质,而 ,所以 ,结合内切圆的性质,可以得出 结合椭圆的性质,可得 ,由此可知 为等边三角形,进而得出 ,对三角形 运用余弦定理,得到 ,解得 ,故选 D.练习 1过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 ： 和圆 ： 作切线，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】圆 C1：（x +4） 2+y24 的圆心为（4，0） ，半径为 r12；圆 C2：（x4 ） 2+y21 的圆心为（4，
9、0） ，半径为 r21，设双曲线 x2 1 的左右焦点为 F1（4，0） ，F 2（4，0） ，连接 PF1，PF 2，F 1M，F 2N，可得|PM|2|PN| 2（|PF 1|2r 12）（|PF 2|2r 22）（|PF 1|24）（| PF2|21）|PF 1|2| PF2|23（|PF 1| |PF2|） （| PF1|+|PF2|）32a（|PF 1|+|PF2|32（|PF 1|+|PF2|）322c328313当且仅当 P 为右顶点时，取得等号，即最小值 13故选：D练习 2已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，实轴长为 6，渐近线方程为，动点 在双曲线左支上，点 为圆 上一点，
10、则 的最小值为A 8 B9 C10 D11【答案】B【解析】由题意可得 2a6，即 a3，渐近线方程为 y x，即有 ，即 b1，可得双曲线方程为 y21，焦点为 F1（ ，0） ，F 2， （ ，0） ，由双曲线的定义可得|MF 2|2a+|MF 1|6+| MF1|，由圆 E：x 2+（y ） 21 可得 E（0， ） ，半径 r 1，|MN|+|MF2|6+|MN|+|MF 1|，连接 EF1，交双曲线于 M，交圆于 N，可得|MN |+|MF1|取得最小值，且为 |EF1| 4，则则|MN |+|MF2|的最小值为 6+419故选：B（六）圆锥曲线与圆例 1已知抛物线 ，圆 ，过点 作
11、直线 ，自上而下顺次与上述两曲线交于点（如图所示） ，则 的值正确的是 ( )A等于 B最小值是 C等于 D最大值是【答案】C【解析】当直线 斜率不存在时，直线方程为 ，代入抛物线方程和圆的方程，求得 的纵坐标分别为 ，故 .当直线 的斜率不存在时，设直线的方程为 ，代入抛物线方程并化简得 ， .根据抛物线的定义以及圆的半径可知.故选 C. 练习 2已知椭圆 ，与双曲线 具有相同焦点 F1、F 2，且在第一象限交于点 P，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e 2，若F 1PF2 ，则 的最小值是A B2 C D【答案】A【解析】根据题意，可知 ，解得 ，根据余弦定理，可知 ，整理得 ，所以 ，
12、故选 A.练习 3设椭圆 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点,|PF 1|=|PF 2|, ,则椭圆离心率的取值范围为( )A B C D 【答案】B【解析】设 F1（-c ，0） ，F 2（c ，0） ，由椭圆的定义得|PF 1|+|PF2|=2a，可设|PF 2|=t，可得|PF 1|=t，即有（+1）t=2a由F 1PF2= ，可得|PF 1|2+|PF2|2=4c2，即为（ 2+1）t 2=4c2，由 2，可得 e2= ,令 m=+1，可得 =m-1，即有= =2（ ） 2+ ,由 ，可得 m3，即 ，则 m=2 时，取得最小值 ；m= 或 3 时，取得最大值 即有 e2
13、 ，解得 e 故选：B 练习 4若存在直线 l 与曲线 C1和曲线 C2都相切，则称曲线 C1和曲线 C2为“相关曲线” ，有下列四个命题：有且只有两条直线 l 使得曲线 C1： 和曲线 C2： 为“相关曲线” ；曲线 C1： 和曲线 C2： 是“相关曲线” ；当 ba0 时，曲线 C1： 和曲线 C2： 一定不是“相关曲线” ；必存在正数 a 使得曲线 C1： 和曲线 C2： 为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（ ）A 1 B2 C3 D4【答案】C【解析】对于，由题意得曲线 C1 是以(0,0)为圆心，2 为半径的圆；曲线 C2 是以(2,1)为圆心，半径为 1的圆两圆的圆心距为 ，由于 ，故两圆相交，因此有两条外公切线，故正确对于，由题意得曲线 C1， C2 是共轭双曲线（它们各自在 x 轴上方的部分） ，具有相同的渐近线，因此两曲线没有公切线，故不正确对于，因为 ba0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故正确对于，当 a=1 时，曲线 C1： ，此时直线 与曲线 C1 和曲线 C2 都相切，故正确综上可得有三个命题正确学_科网故选 C
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