1、专题 35 线性规划求解技巧一 【学习目标】1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线 性规划问题，并能加以解决2掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合二 【知识要点】1二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式 Ax By C0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax By C0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线不等式 Ax By C0 所表示的平面区域(半平面)包括边界直线(2)在平面直角坐标系中，设直线 Ax By C0( B
2、不为 0)及点 P(x0， y0)，则若 B0， Ax0 By0 C0，则点 P(x0， y0)在直线的上方，此时不等式 Ax By C0 表示直线Ax By C0 的上方的区域若 B0， Ax0 By0 C0，则点 P 在直线的下方，此时不等式 Ax By C0 表示直线 Ax By C0 的下 方的区域若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分2线性规划相关概念名称 意义约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由 x， y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数 关于 x， y 的函数解析式可行解 满足线性约束条件的解可行域 所有可行解组成的集合线性目
3、标函数 目标函数是关于变量的一次函数最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值3.常见简单的二元线性规划实际问题一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来 完成该项任务 解线性规划问题的一般步骤：审题、设元列出约束条件 (通常为不等式组)建立目标函数作出可行域求最优解三解题方法总结1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法第一种：若用 ykxb 表示的直线将平面分成上下两部分不等式 区 域ykxb 表示直线上方的半平面区域ykx
4、b 表示直线下方的半平面区域第二种：用 AxByC0(B 0)表示的直线将平面分成上下两部分(B0 读者完成) 不等式 B0 B0AxByC0 表示直线上方的半平面区域 表示直线下方的半平面区域AxByC0 表示直线下方 的半平面区域 表示直线上方的半平面区域联系：将 AxByC0 表示的直线转化成 ykxb 的形式即是第一种.第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.2.线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；移：由 zaxby 变
5、形为 y x ，所求 z 的最值可以看成是求直线 y x 在 y 轴上的截ab zb ab zb距的最值(其中 a，b 是常数，z 随 x，y 的变化而变化)，将直线 axby0 平移，在可行域中观察使 最大zb(或最小)时所经过的点；求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；答：写出最后结论.(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用 “
6、调整优值法”去寻求最优解.四典例分析例 1设 满足约束条件 ，则 的最大值是 A 0 B4 C5 D6【答案】D由 ，解得 ，即 ，此时 ，故选 D【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.学-科网-练习 1已知实数 x,y 满足 ，若不等式 axy0 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A （， ） B （4，） C
7、（ ，4） D （ ，4）【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若 axy0 恒成立即 yax 恒成立，即平面区域在直线 yax 的下方即可即 A（1，4）在 yax 的 下方或在直线上即可，即 a4，故选：B练习 2若 满足 则 的最小值等于A B C D【答案】B【解析】由 ， 满足 作出可行域如图，即为线段 AB，联立 ，解得 ，化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 A 时，直线在 轴上的截距最小，有最小值为 ，故选：B （二）含绝对值的不等式例 2. 设 ,xy满足约束条件 ，则 zxy的最大值是_ 【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示
8、由图形得，当 0,xy时， ，且当直线经过点 0,2A时 z有最大值 2，故可得z的最大值为 2答案：2 练习 1已知实数 x， y满足条件 ，则 2zxy的最小值为（ ）A 3 B 4 C 5 D 6【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可变形为 z=2x+y,即 2yxz，求截距的最小值，过点 C(2,1)时， min5z，选 C.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型： ，与直线的截距相关联，若 0b，当 z的最值情况和 z 的一致；若 0b，当 z的最值情况和 z的相反；（2）斜率型： 与 ,xy的斜率，常见的变形： ， .（3）点点距离型： 表示 ,x
9、y到 ,mn两点距离的平方；（4）点线距离型： 表示 ,xy到直线 的距离的 2ab倍.练习 2若实数 ,xy满足 ，则 21xy的取值范围是（ ）A 0,4 B 13 C 2,6 D 0,3【答案】A【解析】 作出不等式组表示的可行域如图令 2zxy ，则 ，则 12z 表示直线 在 轴上的截距，截距越大， 越大由题意可得 1A（ ， ） ，此时 1C（ ， ）又可行域过点 B时， z最大， 过点 D时 z最小， ，则故选 A3若实数 满足不等式组 ，则 的最大值是（ ）A 15 B 14 C11 D10【答案】B【解析】由题可知，作出目标函数的可行域，如图所示，由知，当目标函数 经过点 取
10、得最大值，即 ，故选 B（三）与圆有关的线性规划例 3设 满足约束条件 ，则 的最小值为_ 【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时， 取得最小值，此时直线方程为 ，由点到直线的距离公式得 ， （取负值） ，即 的最小值为.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中， 表示的是圆心为 ，半径为 的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数 ，由于 ，当直线截距最大时， 取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.练习 1若点 满足 ，点 在圆 上，则 的最大值为A B C D【答案】A【解析】根据所给不等式
11、组，画出可行域如下图所示因为 在圆 上，所以即求可行域内到点 距离加半径即可由图可知，可行域内点（1，1）到点（-2，3）的距离最大，所以 ，所以 PQ 最大值为 5+1=6所以选 A练习 2设不等式组 表示的平面区域为 D，若圆 C： 不经过区域 D 上的点，则 r 的取值范围为 A B C D【答案】A【解析】作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的 及其内部，其中 ， ，圆 ： 表示以 为圆心，半径为 的圆 ，由图可得，当半径满足 或 时，圆 不经过区域 上的点，当 或 时，圆 不经过区域 上的点，故选练习 3若 ，则函数 的最小值等于 _【答案】故答案为：（四）目标函数为平方和例 4已
12、知 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ）A B C1 D【答案】B【解析】由已知得到可行域如图：目标函数 的几何意义是区域内的点到原点距离，所以原点到图中 OP 的距离即为所求，d，所以目 标函数 的最小值为： ；故选：B练习 1若实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】 ,而 表示正方形及其外部（如图） ，所以的最小值为点（1，0）到 AB：y=-x+2 的距离 平方减去 1，即 ,选 D.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点
13、到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.（五）分式型目标函数例 5.已知实数 x,y 满足 ，则 的取值范围是_.【答案】【解析】实数 x，y 满足 x24x+3+y 20，即（x 2） 2+y21，表示以 C（2，0）为圆心，半径等于 1 的圆则 1 ，表示圆上的点 M（x，y）与定点 A（1，3）连线的斜率 k 加上1，如图当切线位于 AB 这个位置时，k 最小，k +1 最小当切线位于 AE 这个位置时，k 不存在，k +1 不存在设 AB 的方程为 y+3k （x 1） ，即 kxyk30，由 CB1，可得 1，求得 k 而 AE 的方程为 x1，故 k+1 的范
14、围为 ，+ ） ，故答案为： ，+ ） 练习 1若点 位于由曲线 与 围成的封闭区域内（包括边界） ，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】画出曲线 与 围成的封闭区域，如图阴影部分所示表示封闭区域内的点 和定点 连线的斜率，设 ，结合图形可得 或 ，由题意得点 A,B 的坐标分别为 ， ， 或 ， 的取值范围为 故选 D练习 2若变量 满足约束条件 则 的最大值是（ ）A B0 C1 D2【答案】C【解析】由约束条件 作出可行域如图：表示可行域内的点与定点 连线的斜率，由图像易知， 点与定点 连线的斜率最大，由得 ，所以 的最大值是 .故答案为 1练习 3若实数 x， y 满
15、足不等式组 ，则目标函数 的最大值是 A 1 B C D【答案】B 【解析】实数 x， y 满足不等式组 的可行域如图：目标函数 ； 的几何意义是可行域内的点与 连 线的斜率，目标函数 的最大值转化为 的最小值，由图形可知最优解为 ，所以目标函数 的最大值是： 故选： B练习 4已知 满足不等式组 ，若 ，则 的取值范围为_ .【答案】【解析】作出不等式组 表示的平面区域，如下图：由 得： ，所以 表示点 到点 距离的平方。由图可知，的取值范围为练习 5已知实数 满足 ，则 的最小值为_。【答案】【解析】由题意作出实数 x，y 满足 平面区域，z（x1） 2+（y5） 2 可看成阴影内的点 P
16、 到点 D（1，5）的距离的平方，阴影内的点 P 到点 D（1， 5）的距离的平方最小值转化为：D 到 xy+10的距离的平方，解得 .故答案为： （六）其它形式的目标函数例 6. 已知点 满足 ， 的取值范围是_ 【答案】 .【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示 ， 表示可行域内的点到直线 和 的距离之和的 倍，结合图形可得 无最大值由 解得 ，所以点 A 的坐标为 此时 由 解得 ，所以点 A 的坐标为 此时 的最小值为 2，故得 的取值范围为 练习 1已知 ， 满足 ， 的最小值、最大值分别为 ， ，且 对 上恒成立，则 的取值范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】作出
17、 表示的平面区域（如图所示） ，显然 的最小值为 0，当点 在线段 上时，；当点 在线段 上时，；即 ；当 时，不等式 恒成立，若 对 上恒成立，则 在 上恒成立，又 在 单调递减，在 上单调递增，即 ，即 练习 2设不等式组 表示的平面区域为 ，则（ ）A 的面积是 B 内的点到 轴的距离有最大值C点 在 内时， D若点 ，则【答案】C【解析】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到 轴的距离也是没有最大值的，故 两个选项错误.注意 到 在可行域内，而 ，故 D 选项错误.有图可知，可行域内的点和 连线的斜率比 的斜率要小，故 C 选项正确.所以选 C.练习 3已
18、知变量 ， 满足条件 则目标函数 的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.练习 4已知实数 x， y满足不等式组 ，若直线 1ykx把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则 k（ ）A 1 B 3 C 12 D 34【答案】B【解析】不等式组对应平面区域是以 A
19、(-1,0),B(1,-1),C(0,2)为顶点的三角形（如图） ，因为 1ykx过定点 A（-1，0） ，由题意直线 1ykx过 BC 的中点 E 1,2，所以斜率 13k，选 B.（七）线性规划的实际应用例 7. “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某共享单车公司欲投放一批共享单车，单车总数不超过100 辆，现有 A，B 两种型号的单车：其中 A 型车为运动型，成本为 400 元 辆，骑行半小时需花费 元；B 型车为轻便型，成本为 2400 元 辆，骑行半小时需花费 1 元 若公司投入成本资金不能超过 8 万元，且投入的车辆平均每车每天会被骑行 2 次，每次不超过半小时 不足半小时按
20、半小时计算 ，问公司如何投放两种型号的单车才能使每天获得的总收入最多，最多为多少元？【答案】公司投放两种型号的单车分别为 80 辆 20 辆才能使每天获得的总收入最多，最多为 120 元【解析】根据题意，设投放 A 型号单车 x 辆，B 型号单车 y 辆，单车公司每天可获得的总收入为 Z，则有 ，即 ，且 ，画出不等式组 表示的平面区域，由 ，解得 .当目标函数 ，经过点 时， 取得最大值为： .答：公司投放两种型号的单车分别为 80 辆 20 辆才能使每天获得的总收入最多，最多为 120 元。【点睛】用线性规划的方法来解决实际问题：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而
21、把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，再画出表示的区域。练习 1电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲 每次播放时间 80 分钟，其中广告时间 1 分钟，收视观众 60 万；连续剧乙每次播放时间 40 分钟，其中广告时间 1 分钟，收视观众 20 万.现在企业要求每周至少播放广告 6 分钟，而电视台每周至多提供 320 分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲 次，连续剧乙 次，列出 ， 所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？【答案】 （1） （2）每周应安排甲、乙连续剧 2 套、4 套【解析】 （1）由题意可得： ；（2）收视观众数为
22、万，则 ，所以 ，因此直线 在 y 轴截距最大时， 取最大值；画出可行域易知当 ， 时， 有最大值，最大值是 200，收视观众 200 万.每周应安排甲、乙连续剧 2 套、4 套练习 2两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供 12mg 阿司匹林，70mg 小苏打，28mg 可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分种类阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)A(mg/片) 2 5 1 0.1B(mg/片) 1 7 6 0.2【答案】当 A 类药品 3 片、B 类药品 8 片时，药品价格最低【解析】设 两种药品分别为 片和 片，则有 ，两类药片的总数为 ，两类药片的价格和为 。
23、如图所示，作直线 ，将直线 向右上方平移至 位置时，直线经过可行域上一点 ，且与原点最近解方程组 ，得交点 坐标为 .由于 不是整点，因此不是 的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是 ，经过的整点是 ，因此 的最小值为 .药片最小总数为 片同理可得，当 时， 取最小值 ，因此当 类药品 片、 类药品 片时，药品价格最低。练习 3 九章算术中记载了 “今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出 100，则会剩下 100；若每人出 90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设 分别为人数、猪价，则 _， _.【答案】10 900 【解析】由题意可得 ，解得 .故答案为 10 900
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