1、专题 19 演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】1 合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理 (1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳 )简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比 )简言之，类比推理
2、是由特殊到特殊的推理2演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论( 包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)演绎推理的一般模式“三段论”大前提已知的一般性的原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程 从 具 体 问 题 出 发 观 察 、分 析 、比 较 、联 想 归 纳 、类 比 提 出 猜 想3.演绎推理演绎
3、推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.1直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为综合法推证过程如下： PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻
4、合为止这种证明方法常称为分析法推论过程如下： 得到一个明显成立的条件QP1 P1P2 P2P3P表示条件，Q表示要证的结论2间接证明反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(2)反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等推论过程如下： 得到一个明显成立的条件QP1 P1P2 P2P3P表示条件，Q表示要证的结论 2间接证明反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立
5、，这样的证明方法叫做_ (2)反证法的特点：先假设原命题_成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等2.关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等.反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3) 下结论.矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾.1.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归纳
6、法的完善.2.证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式凑结论.3.用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法(如放缩) 把式子化为 nk1 成立时的式子.4.用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“nk 到 nk1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律.5.由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方 法尤为重要 ，如猜想数列的通项 an或前 n 项和 Sn，解决与自然数有关的探索
7、性、开放性问题等.这里猜想必须准确，证明必须正确.既用到合情推理，又用到演绎推理.猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成.题型典例分析1.归纳法例 1 已知数列 ,nab满足 ， ，则 2017b（ ） A. 2078 B. 1 C. 2056 D. 1【答案】A【解析】 数列 ,nab满足 ， ，由此猜想 ，故选 A.【规律方法总结】本题通过观察数列的前几项，归纳出数列通项来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质 . 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题
8、(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要 包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习 1.将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 则在表中数字 2017 出现在（ ）A. 第 44 行第 80 列 B. 第 45 行第 80 列 C. 第 44 行第 81 列 D. 第 45 行第 81 列【答案】D练习 2. 聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但
9、求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟 起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ，则按照以上规律，若 具有 “穿墙术”，则 n=A. 35 B. 48 C. 63 D. 80【答案】C【解析】根据规律得 ,所以 ,选 C.练习 3图一是美丽 的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第 1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第 2 代“ 勾股树 ”，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 n代“勾股树” 所有正方形的面积的和为（ ）A. n B. 2 C. 1n D. 【答案】D【解析】最大的正方形面积为 1，当 n=1 时，由勾股定理
10、知正方形面积的和为 2，依次类推，可得所有正方形面积的和为 n，选 D.练习 4.九章算术 “少广” 算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步” ，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n及 3时，如图：记 nS为每个序列中最后一列数之和，则 7S为（ ）A. 1089 B. 680 C. 840 D. 2520【答案】A【解析】当 7n时，序列如图：故练习 5. 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第 20 行从左到右第 4 个
11、数字为_【答案】194【解析】 由题意得，前 19行共有 个数，第 19行最左端的数为 190，第 2行从左到右第4个数字为 .点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前 n项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.练习 6(导学号：05856327)观察下列等式：1 12 3 6；1 2 4 16 2；1 5 1612 0；，以此类推，1 12 6 7 0 ，其中 nN *.则 n_. 【答案】12【解析】1 (
12、3) ，1 ( 13)( 4) 1，1 2( 1)( 4)( 5) ，以此类推，故 1 ( )( )( )( 6)( 7) 6 7 12 0 3 12，故 n12.故答案为：12【规律方法总结】：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关 的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习 7. 某同学在一
13、次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【答案】 （1） （2）见解析【解析】 （1） （2）三角恒等式： 证明如下：左边2.类比法例 2. 二维空间中，圆的一维测度（周长） 2lr，二维测度（面积） 2Sr，三维空间中，球的二维测度（表面积） 24Sr，三维测度（体积） 34V，应用合情推理，若四维空间中， “超球”的三维测度 38Vr,则其思维测度 W=（ ）A. 42 B. 4 C. 4r D. 46r【答案】A【解析】由题意得，二维空间中，二维测度的导数
14、为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故 42Wr选 A练习 1. 如图所示，由曲线 yx 2，直线 xa，xa1(a0)及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 .运用类比推理，若对nN *，恒成立，则实数 A_.【答案】 ln2练习 2. 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若a，b，c 为直角三角形的三边，其中 c 为斜边，则 a2b 2c 2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体 O ABC 中，AOBBOCCOA90，S 为顶点 O 所
15、对面的面积，S1，S 2，S 3 分别为侧面OAB，OAC， OBC 的面积，则下列选项中对于 S，S 1，S 2，S 3 满足的关系描述正确的为( )A. S2S S S B. C. SS 1S 2S 3 D. 【答案】A【解析】如图，作 ODBC 于点 D，连接 AD，由立体几何知识知，ADBC，从而 S2( 1BCAD)2 14BC2AD2 BC2(OA2OD 2) 14 (OB2OC 2)OA2 14BC2OD2( 1OBOA)2( OCOA)2( BCOD)2 .练习 3. 对于问题“已知关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集为(1,2)，解关于 x 的不等式 ax2bxc 0”
16、，给出如下一种解法：由 ax2bxc0 的解集为(1,2)，得 a(x )2b(x)c 0 的解集为( 2,1)，即关于 x 的不等式ax2bxc0 的解集为(2,1)思考上述解法，若关于 x 的不等式 的解集为 ，则关于 x 的不等式的解集为( )A. (3， 1) (1,2) B. (1,2)C. (1,2) D. (3,2)【答案】A【解析】由关于 x 的不等式 的解集为 ，得 的解集为(3，1) (1,2)，即关于 x 的不等式 的解集为(3，1)(1,2)练习 4 已知数列a n为等差数列，若 ama，a nb( n m1，m，nN *)，则 .类比上述结论，对于等比数列b n(bn
17、0，nN *)，若 bmc，b nd(nm 2，m，nN *)，则可以得到 bmn 等于( )A. mndcB. mndcC. nm D. mn【答案】C【解析】观察a n的性质： ，则联想 nb ma 对应等比数列b n中的nmdc，而a n中除以(nm) 对应等比数列中开( nm)次方，故 bmn ndc.练习 5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵
18、横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如 613用算筹表示就是 ，则 127用算筹表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意得到个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，分别在所给的横式和纵式中选择 1227 中每个数字对应的图，可选答案为 B。故答案为：B。练习 6. AC的三边长分别为 ,abc， ABC的面积为 S，内切圆半径为 r，则 ；类比这个结论可知: 四面体 PB的四个面的面积分别为 ，内切球的半径为 R，四面体PB的体积为 V， R ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设四面体的内切球的
19、球心为 O，则球心 到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和，则四面体的体积为 ，故选 C.3.数学归纳法例 3. 1下面四个判断中，正确的是（ ）A. 式子 ，当 1n时为 1B. 式子 ，当 时为 +kC. 式子 ，当 1n时为 23D. 设 ，则【答案】C【解析】对于 A，当 n=1 时，f（k）恒为 1+k，错误；对于 B，当 n=1 时，f （k）恒为 1，错误；对于 C，当 n=1 时，f （n）为 +23，正确； 练习 1. 推理过程：“因为无理数是无限小数， 是无限小数，所以 13是无理数”，以下说法正确的是（ ）A. 完全归纳推理，结论正确 B. 三段论推理，结论正确C. 传递性关系推理，结论正确 D. 大前提正确，推出的结论错误【答案】D【解析】推理过程：“因为无理数是无限小数, 是无限小数,所以 13是无理数”，大前提：无理数是无限小数，小前提：(某是无理数) 是无限小数，结论：(某是无限小数) 13是无理数，其中，大前提正确，推理的结论错误。故选：D.
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