1、第 1 页，共 14 页山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若 ，则复数 z 的虚部是 =(+1)(2) ( )A. 1 B. C. 3 D. 1 3【答案】B【解析】解： =(+1)(2)=3则复数 z 的虚部是 1故选：B直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2. 已知集合 ， ，则 =|2230=|=(2) =( )A. B. C. D. (1,3) (1,3 1,2) (1,2)【答案】C【解析】解： 集合 ， =|2230=|13=1,3；
2、=|=(2)=|20=|则由 ，得 ，(1)=(2) |1|=|2|即 ，1=2得 ，1+2=12=0即 ，12=1，(3)=3则 ，12(3)=13=3=1即 的取值范围是 ，12(3) (1,+)故选：C作出 的图象，根据函数方程之间的关系，确定 ， ， 的取值范围，结合对数() 1 2 3的运算法则进行化简求解即可本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象 确定 ， ， 的范围，以及利用. 1 2 3数形结合是解决本题的关键12. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，圆 与2222=1(0,0) 1 2 2+2=2双曲线在第一象限内的交点为 M，若 则该双曲线的离心率为 |1|=3|
3、2|. ( )A. 2 B. 3 C. D. 2 3【答案】D【解析】解：由双曲线的定义可得 ，|1|2|=2若 ，则 ，|1|=3|2| |2|=第 6 页，共 14 页设 ， ，由双曲线的定义可得(,)0，|2|=(2)=可得 ，=22又 ，即 ，2222=1 2=2(221)由 ，可得：|=，2+2=442+2(422)2 =2由 ，2=22化为 ，2=32则 =3故选：D由双曲线的定义可得 ，设 ， ，由双曲线的定义可得|2|= (,)0，求得 m，再由 M 满足双曲线的方程可得 M 的坐标，再由|2|=(2)=，结合双曲线的 a， b，c 的关系，运用离心率公式可得所求值|=本题考查
4、双曲线的定义和方程、性质，主要是离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 曲线 在点 处的切线方程为_ ()=+2 (0,(0)【答案】 =+2【解析】解： 的导数为 ，()=+2 ()=(+1)可得曲线在点 处的切线斜率为 1，(0,(0)切点为 ，可得在点 处的切线方程为 ，(0,2) (0,(0) =+2故答案为： =+2求得函数 的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求切线方程()本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题14. 若变量 x，y 满足则目标函数 则目标函数 的最大值为+20,+
5、20,360, =+4_【答案】28【解析】解：变量 x，y 满足则目标函数+20,+20,360,不等式组表示的平面区域如图所示，当直线 过点 A 时，z 取得最大值，=2第 7 页，共 14 页由 ，可得 时，+2=036=0 (4,6)在 y 轴上截距最大，此时 z 取得最大值 4+46=28故答案为：28先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， 表示直线在 y 轴上的=+4截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题15. 若圆 C： 上恰好有 3 个点到直线 的距离等于 1，(1)2+(2)2=4 =2+
6、则 _=【答案】 5【解析】解：依题意得：圆心 到直线 的距离为 1，(1,2) 2+=0，解得 |22+|5 =1 =5故答案为： 5依题意得：圆心 到直线 的距离为 1，列式可求得(1,2) 2+=0本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题16. 将数列 3，6，9， 按照如下规律排列，记第 m 行的第 n 个数为 ，如 ，如 ，若 ，则,3,2 3,2=15 ,=2019_+=【答案】44【解析】解：根据上面数表的数的排列规律 3、6、9、12、15 是以 3 为首项，以 3 为公差的等差数列，其通项公式为 ，=3由 ，=2019=3解得 ，=673前 m 行的数字个数和为 ，(1+)2当
7、 时， ，当 时， ，=3637362 =666 =37 38372 =703，=37，673666=7，=7即 +=37+7=44故答案为：44根据上面数表的数的排列规律 3、6、9、12、15 是以 3 为首项，以 3 为公差的等差数第 8 页，共 14 页列，可得 2019 是第 673 的数字，根据等差数列的求和公式可得 ，即可求出=37，问题得以及解决=7本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 如图，在四边形 ABCD 中，=23,=3,=343求 的大小；(1)若 ，求 AD
8、 的长(2),=4【答案】解： 在 中， ，(1)=12由题意可得： ，12323=334，=3，=又 ，=23，=6，(2)，=3由余弦定理可得：，2=2+2223=(3)2+(3)2233(12)=9，=3在 中，由正弦定理可得： =334=362【解析】 在 中，利用三角形的面积公式可求 BC 的值，求得 B，即可利用三(1)角形内角和定理求得 由已知可求 ，由余弦定理可得 AC 的值，在 中，由正弦定理可得(2) =3 AD 的值本题主要考查了三角形的面积公式，三角形内角和定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18. 如图，菱形 ABCD
9、和直角梯形 CDEF 所在平面互相垂直，第 9 页，共 14 页， ， ， ， =4 =2 =60 /求证： ；(1) 求四棱锥 的体积(2) 【答案】证明： ， ， ，(1)/又面 面 CDEF，且面 面 ， =面 ABCD，面 ABCD， ， 是菱形， ， 又 面 ACF， 面 ACF， ， =面 ACF，又 面 ACF， 解： 过点 A 向 CD 作垂线，垂足为 H，即 ，(2) 面 面 CDEF，且面 面 ， =面 CDEF，在 中， ， ，=4 =60，=23四棱锥 的体 积 =13=1312(4+2)423=83【解析】 推导出 ，从而 面 ABCD，进而 ，再由 ，得到(1) 面
10、 ACF，由此能证明 过点 A 向 CD 作垂线，则 ，从而 面 CDEF，由此能求出四棱锥(2) 的体积本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19. 某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择 如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等 现统计了某班 50 名( ).学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间 单位： 的数据，按照 ，( ) 0,2)， ， ， 分成五组，得到了如下的频率分布直方图2,4)4,6)6,8)8,10求频率分布直方图中 m 的值及该班学生一周用在兴趣
11、爱好方面的平均学习时间；(1)从 ， 两组中按分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中抽取 2 人，求(2)4,6)6,8)恰有 1 人在 组中的概率6,8)第 10 页，共 14 页【答案】解： 由频率分布直方图得：(1)，0.062+0.082+0.22+2+0.062=1解得 =1学生的平均学习时间为： 10.12+30.16+50.4+70.2+90.12=5.08由直方图可得： 中有 人，(2) 4,6)0.2050=10根据分层抽样，需要从 中抽取 4 人分别记为 ， ， ， ，4,6) 1 2 3 4从 中抽取 2 人，分别记为 ， ，6,8) 1 2再从这 6 人中，抽取
12、2 人，所有的抽取方法有 人，=26=15从这 6 人中抽取 2 人，恰有 1 人在 组中包含的基本事件有：6,8)， ， ， ， ， ， ， ，共 8 种，11 12 21 22 31 32 41 42从这 6 人中抽取 2 人恰有 1 人在 组中的概率 6,8) =815【解析】 由频率分布直方图能求出 m，由此能求出学生的平均学习时间(1)由直方图可得 中有 10 人，根据分层抽样，需要从 中抽取 4 人分别记为 ，(2) 4,6) 4,6) 1， ， ，从 中抽取 2 人，分别记为 ， ，利用列举法能求出从这 6 人中抽2 3 4 6,8) 1 2取 2 人恰有 1 人在 组中的概率6
13、,8)本题考查实数值、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、概率、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20. 已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 C 过点 ：22+22=1(0) 33 (32,22)求椭圆 C 的标准方程；(1)过椭圆 C 的右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且与圆： 过(2) 2+2=2点，求 的取值范围|2【答案】解： 由题意可得 ，解得 ， ， ，(1)=33942+242=12=2+2 2=3 2=2 2=1椭圆 C 的标准方程 ，23+22=1椭圆 C 的右焦点为 ，(2) (1,0)若直线 l 的斜率不存在，则此时 l 的方程为 ，则 ， ，
14、 ，=1 (1,233) (1,233) (1,1)，(1,1)第 11 页，共 14 页， ，则 ，|=433 |2=4 |2=1633若直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 ，设 ， ，=(1) (1,1) (2,2)由 可得 ，=(1)23+22=1 (32+2)262+326=0， ，1+2=622+3212=3262+32，|=1+2 (1+2)2412=1+2 364(2+32)122242+32=43(2+1)2+32圆心 O 到直线 l 的距离 ，=|1+2|2=4(2 21+2)=4(2+2)1+2|2=43(2+1)2+32 4(2+2)1+2 =1633 2+22+23
15、=1633 (1+432+23)(1633 ,163，综上所述 的取值范围|2 1633,163.【解析】 由题意可得 ，解得 ， ，即可求出椭圆方程，(1)=33942+242=12=2+2 2=3 2=2若直线 l 的斜率不存在，则此时 l 的方程为 ，此时求出 ，若(2) =1 |2=1633直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 ，设 ， ，根据韦达定理=(1) (1,1) (2,2)和弦长公式，以及直线和圆的位置关系，即可求出 ，即可|2=1633(1+ 432+23)求出答案本题考查了椭圆的简单性质和椭圆的方程、直线和椭圆和圆的位置关系，韦达定理，点到直线的距离公式等基础知识与基本
16、技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题21. 已知函数 ， ()=2求函数 的单调区间；(1) ()若不等式 在 时恒成立，求 a 的取值范围(2) ()1【答案】解： ，(1)()=12=12(0)若 ， ， 在 递增，0 ()0 ()(0,+)若 ，令 ，解得： ，0 ()=0 =12第 12 页，共 14 页故 在 递增，在 递减，()(0,12) (12,+)综上，若 ， 在 递增，0 ()(0,+)若 ， 在 递增，在 递减；0 ()(0,12) (12,+)不等式考核 在 恒成立，(2) +2(2+1)1令 ， ，()=+2(2+1)1，()=(21)(1)若 ，
17、 ， 在 递减，0 ()1当 时， ，112 ()0故 在 递减，在 递增，()(1,12) (12,+)故 ，不合题意，()(12),+)若 ，当 时， ，12 1 ()0故 在 递增，()(1,+)故 ，不合题意，()(1),+)综上， 1,0【解析】 求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间；(1)不等式等价于 在 恒成立，令(2) +2(2+1)1， ，求出函数的导数，根据函数的单调性确定 a 的()=+2(2+1)1范围即可本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 的直角坐
18、标为 ，直线 l 的参数方程为(1,0)为参数 ；以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，=1+22=22 ( )曲线 C 的极坐标方程为 2=2 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；( ) 直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，求 的值( )1|2+1|2第 13 页，共 14 页【答案】解： 直线 l 的参数方程为 为参数 ；( ) =1+22=22 ( )转换为直角坐标方程为： ，1=0曲线 C 的极坐标方程为 2=2转换为直角坐标方程为： 2=2 将直线 l 的参数方程为 为参数 ；代入 ，( ) =1+22=22 ( ) 2=2得到： 和 为 A、
19、B 对应的参数2224=0(1 2 )所以： ， ，1+2=22 12=4则： 1|2+1|2=121+122=(1+2)2212(12)2 =1【解析】 直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行( )转换 利用一元二次方程根和系数的关系求出结果( )本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23. 已知函数 ()=|+|+|(0,0) 当 时，解不等式 ；( ) =1 ()+2 若 的值域为 ，求 ( ) () 2,+)1+1+1+11【答案】解： 当 时， ，( ) =
20、1 ()=|1|+|+1|+2当 时，不等式可化为： ，即 ，故 ，()+2 +2 1 2+2 2 .2综上，不等式的解集是 或 ；|2 0 证明 ，( ) ()=|+|+|+|的值域是 ，() 2,+)故 ，+=2故 ，+1+1=4故1+1+1+1当且仅当 ，即 时取“ ”，=14(+1+1+1 +1+1+1 )=14(2+1+1+1+1) +1+1=+1+1 =1 =即 1+1+1+11第 14 页，共 14 页【解析】 代入 a，b 的值，通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；( ) 求出 ，根据绝对值不等式的性质证明即可( ) +=2本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题
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