1、专题 02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱 2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二知识点【学习目标】1了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法) 表示函数；3了解简单的分段函数，并能简单应用；4掌握求函数定义域及解析式的基本方法【知识要点】1函数的概念设 A，B 是非空的数
2、集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 ，在集合 Bx中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然 f(x)|xA B.2映射的概念设 A，B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的任意一个元素，在集合 B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合 A，B ，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A到集合 B 的映射3
3、函数的特点函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；函数包括定义域 A、值域 B 和对应法则 f，简称函数的三要素；关键是对应法则4函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法5判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等6分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式三典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例 1. 【曲靖一中 2019 模拟】已知 ，若函数 在（3， 2）上为减函数，且函数= 在
4、上有最大值，则 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】A【分析】由 在 上为减函数，可得 ；由 在 上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】 在 上为减函数，且 在 上恒成立， ，又 在 上有最大值，且 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，解得 ，综上所述， ，故选 A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减” 的含义（增增 增，
5、减减 增，增减 减，减增 减）. 故答案为：D.练习 2已知函数 则 _【答案】1008【解析】分析：由 关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数 ，则 ，故答案为：1008.点睛： 可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例 7 【河北省廊坊市 2019 届高三上学期第三次联考】若函数 在 上是单调函数，且 存在负的零点，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可【详解】当 时， ,所以函数 在 上只能是单调递增函数，又 存在负的零点，而当 时，f(0)=1+a，当 时，f （0）=3a-2， 03a-
6、2 1+a，解得.故选 B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力练习 1.已知函数 ，则 f（1）- f（9）=（ ）A 1 B 2 C 6 D 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出 和 的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得 ， ，所以 ，故选 .【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习 2已知 ,那么 等于( )A 2 B 3 C 4 D 5【答案】A【解析】将 逐步化为 ,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知， ，继而 ,由分段函数第一段解析式 ，故选
7、 A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例 8. （1）已 f ( )= ，求 f(x)的解析式.（2） 已知 y =f(x )是一次函数，且有 f f(x)=9x8，求此一次函数的解析式【答案】 （1） ； （2） .【解析】 （1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为 f(x)=ax b，再利用待定系数法列出关于 a、b 的方程组即可求解出 a、b 的值.【详解】 （1） 设 (x0 且 x1)（2）设 f(x)=axb，则
8、ff(x)=af(x)b=a(axb)b=a2xabb=9x8或 所以函数的解析式为 .【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组） ，对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习 1.(1) 已知 是一次函数,且满足 求 ;(2) 判断函数 的奇偶性.【答案】 （1） ； （2）见解析.【解析】 （1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x ）与 f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
9、.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式 f（-x ）=f(x)或 f（-x ）=-f（x）是否成立.练习 2已知函数 对一切实 数 x，y 都有 f（x+y)f （y）=x（x+2y+1）成立，且 f（1）=0（1）求 f（0）的值；（2）求 f（x）的解析式；（3）已知 a，bR，当 时，求不等式 f（x）+32x+a 恒成立的 a 的集合 A【答案】 （1）f（0）=2（2）f（x）=x 2+x2（3）【解析】 （1）令 ，可得 ，再根据 可得 ；（2）在条件中的等式中，令 ，可得 ，再根据 可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式 x2x+1a 恒成立，根据二次函数
10、的知识求出函数 上的值域即可得到 的范围【详解】 （1）根据题意，在 f（x+y ） f（y）=x（x+2y+1）中，令 x=1， y=1，可得 ，又 ， （2）在 f（x+y ） f（y）=x （x+2y+1）中，令 y=0，则 f（x） f（0）=x （x+1）又 ， （3）不等式 f（x）+32x+a 等价于 x2+x2+32x+a，即 x2x+1a由当 时不等式 f（x） +32x+a 恒成立，可得当 时不等式 x2x+1a 恒成立设 ，则 在 上单调递减， ， 【点评】 （1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的
11、性质（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替练习 3.如图，RtABC 中，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上，C、D 两点不重合，设 CD 的长度为 x，ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ）A. （A） B. （B） C. （C ） D. （D）【答案】B【解析】当 0x1 时，y=x 2，当 1x2 时，ED 交 AB 于 M，EF 交 AB 于 N，如图，CD=x，则 AD=2-x，Rt
12、ABC 中，AC=BC=2 ，ADM 为等腰直角三角形，DM=2-x，EM=x-（2-x）=2x-2，S ENM = （2x-2） 2=2（x-1） 2，y=x 2-2（x-1） 2=-x2+4x-2=-（x-2 ） 2+2，y= 故选 B练习 4.如图，李老师早 晨出门锻炼，一段时间内沿 M 的半圆形 MACBM 路径匀速慢跑，那么李老师离出发点 M 的距离与时间 x 之间的函数关系的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，得从 M 到 A 距离在增加，由 A 经 B 到 C 与 M 的距离都是半径，由 B 到 M 距离逐渐减少，故选 D.（九）恒成立问题求参数范围
13、问题例 9. 【湖北省武汉市第六中学 2018-2019 学年调研数学试题】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围A B C D 【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出 的取值范围【详解】由函数 的对称轴为 且函数图像开口向上则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当且仅当 处取得最小值由值域 可知，故在 上函数 单调递增，在 处取得最大值故 ，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。练习 1.若 对 恒成立，且存在 ，使得 成立，则 的取值范围为_ 【答案】【解析】利用方程思想得到 ，利
14、用单调性明确函数 的最大值即可.【详解】 ，以 代入 得 ，消去 得 ，若 ，则 单调递增， ，则 . 故答案为：【点睛】本题考查了方程思想求函数的解析式，考查了不等式能成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题.（十）任意存在问题例 10.已知函数 在 上存在最小值，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】根据条件列不等式，解不等式得结果.【详解】因为函数 在 上存在最小值，所以 ，选A.【点睛】本题考查分段函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.练习 1.若函数 在 上有意义，则实数 的取值范围是_ 【答案】 .【解析】使用换元令 t=2x，将函数转化为一元二次函数 y
15、=1+t+at2 进行求解【详解】设 t=2x，因为 x（ ，2 ，所以 0t4则原函数有意义等价于 1+t+at20，所以 a 设 f（t）= ，则 f（t）= =（ + ） 2+ ，因为 0t4，所以 ，+） ，所以 f（t）f（ ）= ，所以 a 故答案为： 【点睛】本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题练习 2已知 （1）求 的值域 （2）若 对 任意 和 都成立，求 的取值范围【答案】 （1） ； （2） .【解析】 （1）利用换元法，将函数转化为关于 t 的二次函数，根据 t 的取值范围求得函数 的值域。（2）根据恒成立条件，得到关于 m 的二次函数表达式；利用变换主元法看成关于 a 的函数表达式，进而求得 m 的取值范围。（2）即恒成立令 ,图象为线段，则 解得 .【点评】本题考查了换元法及变换主元法在函数最值和取值范围中的综合应用，注意换元后的取值范围，属于中档题。
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