1、专题 30 二项式定理易错点及赋值法妙用一 【学习目标】1能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题二方法归纳1.运用二项式定理一定要牢记通项 Tr1 C anr br，注意( ab) n与(ba) n虽然相同，但具体到它们展rn开式的某 一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母) 系数是两个不同概念，前者只指 C ，而后者是指字母外的部分 . rn2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求 r，再求 Tr1 ，有时还需先求 n，再求 r，才能求出 Tr1 .3.有些三项展开式问题可以通
2、过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.5.近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式中的若干项.6.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法” ，“消去法”配合整除的有关知识来解决.三【典例分析及训练】（一）求常数项例 1若二项式 展开式中的第 5 项是常数，则自然数 的值为（ ）A 10 B12 C13 D14【答案】B【解析】因为二项式 展开式中的第 5 项是 ，因为第 5 项是常数，所以
3、，即 .故选 B 练习 1若 展开式的常数项为 60，则 值为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为 展开式的通项为 ，令 ，则 ，所以常数项为 ，即 ，所以 .故选 D练习 2已知(1+x+x 2) 的展开式中没有常数项,nN +,且 2n8,则 n=( )A2 B3 C4 D5【答案】 D（二）求特殊项例 2. 的展开式中 的系数是A -5 B10 C-15 D25【答案】A【解析】 ，的通项公式为 ，其中 r=0,1,2,3的通项公式为 ，其中 r=0,1,2,3,4,5展开式中 的系数是 ,故选：A【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件
4、写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.练习 1 的展开式中 的系数是( )A 90 B C15 D【答案】B【解析】 ，而 的二项式系数满足因而 的系数为 ，故选 B。 （六）杨辉三角例 6将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,便可以得到如图的 “0-1 三角”.在“0-1 三角”中,从第 1行起,设第 n(nN +)次出现全行为 1 时,1 的个数为 an,则 a3等于 ( )A 26 B27 C7 D8【答案】D【解析】第 行和第 行全是 ，已经出现了
5、 次，依题意，第 行原来的数是 ，而 为偶数，不合题意；第 行原来的数是 ，即 全为奇数，一共有 个，全部转化为 ，这是第三次出现全为 的情况.故选 D.（七）求系数之和例 7(1+x)+(1+x) 2+(1+x)n的展开式中各项系数和为 ( )A 2n+1 B2 n-1 C2 n+1-1 D2 n+1-2【答案】D【解析】令 ，代入表达式化简得 ，故选 D.【点睛】本小题主要考查展开式各项系数和的求法，考 查等比数列的前 项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.要求展开式中各项的系数和，主要采用的是赋值法，也即是令 ，由此求得的结果就是各项系数的和.要在表达式中识别出等比数列，并
6、利用等比数列的前 项和公式进行求和.练习 1若 ，则 （ ）A B C D【答案】C【解析】令 得 ，令 得，故选：C练习 2 的值为（ ）A 0 B2 C1 D1【答案】D【解析】令 ，则 ，令 ，则 ，因此，选 D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令 即可；对形如 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 即可.（八）系数的绝对值例 8设 ，则 的值为 （ ）A 7 B C2 D7【答案】D练习 1 若 ，则 （ ）A B1 C0 D【答案】D【解析】已知 ，根据二项式展开式的通项得到第 r+1 项是，故当 r 为奇
7、数时，该项系数为负，故原式令 x=-1 代入即可得到 .故答案为：D.（九）二项式定理综合例 9在 的展开式中， 项的系数等于 264，则 等于A B C D【答案】B【解析】 （a ） 12 的展开式的通项为 由 ，得 r10 ，解得 a 2（舍）或 a2 （ 2x）dx （lnx +x2） ln2+4ln11ln 2+3故选：B练习 1已知 ，则 等于A 63 B64 C31 D32【答案】A【解析】逆用二项式定理得 ，即 3n3 6，所以 n6，所以 .故选 A. 练习 2已知函数 , 则 （ ）A 0 B C1009 D2018【答案】C【解析】 ， ， ， ， ， ， ，故选 C练习
8、 3若(2x1) 11a 0a 1(x1) a 2(x1) 2a 11(x1) 11，则 等于( )A 0 B1 C D12【答案】A【解析】由题意，得 ，则，即 ，令 ，得 ，令 ，则 ，则 ；故选 A.（十）计数原理与二项式例 10 的展开式中含 的项的系数为（ ）A 30 B60 C90 D120【答案】B【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的 系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）
9、二项展开式定理的应用.练习 1在 的展开式中，记 项的系数为 ，则 ( )A 45 B60 C120 D210【答案】C【解析】 （1+x） 6（1+y ） 4 的展开式中，含 x3y0 的系数是： =20f（3，0）=20； 含 x2y1 的系数是 =60，f （2，1）=60；含 x1y2 的系数是 =36，f（1，2）=36；含 x0y3 的系数是 =4，f（0，3）=4；f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120故选：C练习 2在 的展开式中，含 项的系数为（ ）A 45 B55 C120 D165【答案】D【解析】 的展开式中含 项的系数为故选 D.练习 3 的展
10、开式中， 的系数为（ ）A B C D【答案】B【解析】由 ，得含 的项为 ，中 的项为系数为故选 B.练习 4 （2015 新课标全国卷 I 理科） 的展开式中， 的系数为A 10 B20 C30 D 60【答案】C【解析】 的展开式的通项为 令 的通项为令 则 ， 的展开式中， 的系数为 =30.故选 C【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档 题，求多项式展开式中某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.练习 5二项式 展开式的常数项为（ ）A B C D【答案】B【解析】因为 = ,所以 ，因此 常数
11、项为 展开式中常数项： ，选 B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数.（十一）整除问题例 11 设 nN +,则 7 +72 +7n 除以 9 的余数为 ( )A 0 B2 C7 D0 或 7【答案】D【解析】7 9,当 为偶数时,余数为 0,当 为奇数时,余数为 7，故选 D.练习 1可以整除 （其中 ）的是（ ）A 9 B10 C11 D12【答案】C【解析】 .故能整除 （其中 ）的是 11
12、.故选 C . 练习 2 除以 的余数是 （ ）A B C D【答案】B【解析】： ，即 除以 100 的余数为 41，故选 B.学-科网（十二）数学文化例 12中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设为整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 若， ，则 的值可以是A 2015 B2016 C2017 D2018【答案】C【解析】由题意可得： ，结合二项式定理可得：，计算 的数值如下表所示：底数 指数 幂值5 1 55 2 255 3 1255 4 6255 5 31255 6 156255 7 781255 8 3906255 9 19531255 10 9765625据此可猜想 最后三位数字为 ，则： 除以 8 的余数为 1，所给选项中，只有 2017 除以 8 的余数为 1，则 的值可以是 2017.本题选择 C 选项.（十三）导数与二项式例 13 展开式中， 7x项的系数是（ ）A 504 B 1530 C 03 D 150【答案】C
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