2019年江苏省无锡市锡山区东亭片八校中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2019 年江苏省无锡市锡山区东亭片八校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）12 的相反数是（ ）A B2 C2 D2如图所示物体的俯视图是（ ）A B C D3计算（ xy2） 3，结果正确的是（ ）A x3y5 B x3y6 C x3y6 D x3y54方程 x23x0 的解为（ ）Ax0 Bx3 Cx 10，x 23 Dx 10，x 235在 2014 年的体育中考中，某校 6 名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（ ）A18，1

2、8，1 B18，17.5，3 C18，18，3 D18，17.5，16关于反比例函数 y 的图象，下列说法正确的是（ ）A图象经过点（1，1）B两个分支分布在第二、四象限C当 x0 时， y 随 x 的增大而减小D两个分支关于 x 轴成轴对称7如果圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 2cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）A10cm 2 B10cm 2 C20cm 2 D20cm 28如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、B、O 都在格点上，则AOB 的正弦值是（ ）A B C D9如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到ABC ，设点 A 的坐标为（a，b），则点A的坐标

3、为（ ）A（a，b） B（a，b1） C（a，b+1） D（a，b+2）10“如果二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m、n（m n）是关于 x的方程 1（x a）（xb）0 的两根，且 ab，则 a、b、m、n 的大小关系是（ ）Amabn Bamnb Cambn Dm anb二、填空（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）11数据显示，今年高校毕业生规模达到 727 万人，比去年有所增加数据 727 万人用科学记数法表示为 人12在函数 y 中，自变量

4、 x 的取值范围是 13三张扑克牌中只有一张黑桃，三位同学依次抽取，第一位同学抽到黑桃的概率为 14直线 l1l 2，一块含 45角的直角三角板如图放置， 185，则2 15一次函数 y1kx+b 与 y2x+a 的图象如图，则 kx+bx+a 的解集是 16如图，在ABC 中，ABAC ，A40，点 D 在 AC 上，BDBC，则ABD 的度数是 17如图，Rt ABC 中，ABC90，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，ADBC，且AB 3，BC4 ，则 AD 的长为 18在平面直角坐标系中，已知 A（2，4）、P（1，0），B 为 y 轴上的动点，以 AB 为边构造ABC，使点 C 在 x

5、 轴上， BAC90M 为 BC 的中点，则 PM 的最小值为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19计算与化简（1）| 1| （5 ） 0+4cos45（2）（a+b） 2a（a2b）20（1）解方程： ；（2）解不等式组： 21如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD ，相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB、CD 分别相交于点 E、 F，求证： AECF22某同学报名参加校运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用 A1、A 2、A 3 表示）；田赛项目：跳远

6、，跳高（分别用 B1、B 2 表示）（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ；（2）该同学从 5 个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率23某企业 500 名员工参加安全生产知识测试，成绩记为 A，B，C，D，E 共 5 个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图；（2）如果测试成绩（等级）为 A，B，C 级的定位优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数24阅读理解：

7、x表示不大于 x 的最大整数，例2.3 2， 5.66（1）8.2 （2）x 2 的 x 的取值范围 （3）直接写出方程2xx 2 的解25已知：如图，AB 为O 的直径，O 过 AC 的中点 D，DEBC 于点 E（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若 DE2，tan C ，求O 的直径26某工厂计划生产 A、B 两种产品共 60 件，需购买甲、乙两种材料，生产一件 A 产品需甲种材料 4 千克，乙种材料 1 千克；生产一件 B 产品需甲、乙两种材料各 3 千克，经测算，购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 60 元；购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金 155 元（1）甲

8、、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 9900 元，且生产 B 产品不少于 38 件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件 A 产品需加工费 40 元，若生产一件 B 产品需加工费 50 元，应选择哪种生产方案，使生产这 60 件产品的成本最低？（成本材料费+加工费）27已知： ，PB4，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧（1）如图，当APB45时，求 AB 及 PD 的长；（2）当APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应APB 的大小28如图，过 A（1，0）、

9、B（3，0）作 x 轴的垂线，分别交直线 y4x 于 C、D 两点抛物线yax 2+bx+c 经过 O、C、D 三点（1）求抛物线的表达式；（2）点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样的点 M，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 M 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOC 沿 CD 方向平移（点 C 在线段 CD 上，且不与点 D 重合），在平移的过程中AOC 与OBD 重叠部分的面积记为 S，试求 S 的最大值2019 年江苏省无锡市锡山区东亭片八校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本

10、大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）12 的相反数是（ ）A B2 C2 D【分析】根据相反数的定义可知【解答】解：2 的相反数是 2故选：C【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数0 的相反数是其本身2如图所示物体的俯视图是（ ）A B C D【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中【解答】解：从上面向下看，易得到横排有 3 个正方形故选：D【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面向下看得到的视图3计算（ xy2） 3，结果

11、正确的是（ ）A x3y5 B x3y6 C x3y6 D x3y5【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后再选取答案【解答】解：原式（ ） 3x3y6 x3y6故选：B【点评】本题考查了积的乘方的性质：等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘4方程 x23x0 的解为（ ）Ax0 Bx3 Cx 10，x 23 Dx 10，x 23【分析】将方程左边的多项式提取 x，分解因式后根据两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解【解答】解：方程 x23x 0，因式分解得：x（x 3）0，可化为 x0 或 x30，解得：x 10，x 23故选：

12、D【点评】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，应先将方程整理为一般形式，然后将方程左边的多项式分解因式，根据两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解5在 2014 年的体育中考中，某校 6 名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（ ）A18，18，1 B18，17.5，3 C18，18，3 D18，17.5，1【分析】根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行解答即可【解答】解：这组数据 18 出现的次数最多，出现了 3 次，则这组数据的众数是 18；把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（18+18）2

13、18，则中位数是 18；这组数据的平均数是：（172+183+20）618，则方差是： 2（1718） 2+3（1818） 2+（20 18） 21；故选：A【点评】本题考查了众数、中位数和方差，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差 S2 （x 1 ） 2+（x 2 ）2+（x n ） 26关于反比例函数 y 的图象，下列说法正确的是（ ）A图象经过点（1，1）B两个分支分布在第二、四象限C当 x0 时， y 随 x 的增大而减小D两个分

14、支关于 x 轴成轴对称【分析】根据反比例函数的性质，k20，函数位于一、三象限，在每一象限 y 随 x 的增大而减小【解答】解：A、把点（1，1）代入反比例函数 y 得 21 不成立，故 A 选项错误；B、k 20， 它的图象在第一、三象限，故 B 选项错误；C、当 x0 时， y 随 x 的增大而减小，故 C 选项正确；D、图象的两个分支关于 yx 对称，故 D 选项错误故选：C【点评】本题考查了反比例函数 y （k0）的性质：当 k0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限当 k0 时，在同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，在同一个象限，y

15、随 x 的增大而增大7如果圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 2cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）A10cm 2 B10cm 2 C20cm 2 D20cm 2【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2【解答】解：圆锥的侧面积225210 故选：B【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面积的计算方法8如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、B、O 都在格点上，则AOB 的正弦值是（ ）A B C D【分析】作 ACOB 于点 C，利用勾股定理求得 AC 和 AO 的长，根据正弦的定义即可求解【解答】解：作 ACOB 于点 C则 AC ，AO 2 ，则 sinAOB 故选：

16、D【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边9如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到ABC ，设点 A 的坐标为（a，b），则点A的坐标为（ ）A（a，b） B（a，b1） C（a，b+1） D（a，b+2）【分析】设点 A的坐标是（x，y ），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可【解答】解：根据题意，点 A、A关于点 C 对称，设点 A的坐标是（x ，y ），则 0， 1，解得 xa，y b+2，点 A的坐标是（a，b+2）故选：D【点评】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，

17、根据旋转的性质得出点 A、A关于点 C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方10“如果二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m、n（m n）是关于 x的方程 1（x a）（xb）0 的两根，且 ab，则 a、b、m、n 的大小关系是（ ）Amabn Bamnb Cambn Dm anb【分析】由 m、n（mn）是关于 x 的方程 1（x a）（xb）0 的两根可得出二次函数y（xa）（x b）1 的图象与 x 轴交于点（m ，0）、（ n，0

18、），将 y（xa）（xb）1 的图象往上平移一个单位可得二次函数 y（xa）（xb）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出 a、b、m 、n 的大小关系【解答】解：m、n（mn）是关于 x 的方程 1（x a）（xb）0 的两根，二次函数 y（x a）（x b）1 的图象与 x 轴交于点（m ，0）、（n，0），将 y（xa）（x b） 1 的图象往上平移一个单位可得二次函数 y（x a）（xb）的图象，二次函数 y（x a）（x b ）的图象与 x 轴交于点（a，0）、（b，0）画出两函数图象，观察函数图象可知：m abn故选：A【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，画出两函数图象

19、，利用数形结合解决问题是解题的关键二、填空（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）11数据显示，今年高校毕业生规模达到 727 万人，比去年有所增加数据 727 万人用科学记数法表示为 7.2710 6 人【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 727 万即 7 270 000 用科学记数法表示为：7.2710 6故答案为：7.2710 6【点评】此题考查科学记数法的

20、表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12在函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 x 1 且 x0 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出x 的范围【解答】解：根据题意得：x+10 且 x0，解得：x1 且 x0故答案为：x1 且 x0【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负1

21、3三张扑克牌中只有一张黑桃，三位同学依次抽取，第一位同学抽到黑桃的概率为 【分析】由三张扑克牌中只有一张黑桃，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：三张扑克牌中只有一张黑桃，第一位同学抽到黑桃的概率为： 故答案为： 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比14直线 l1l 2，一块含 45角的直角三角板如图放置， 185，则2 40 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得31，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出4，然后根据对顶角相等解答【解答】解：l 1l 2，3185，4345854540，2440故答案为：40【点评】本题考查了

22、平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键15一次函数 y1kx+b 与 y2x+a 的图象如图，则 kx+bx+a 的解集是 x2 【分析】把 x2 代入 y1kx+b 与 y2x +a，由 y1y 2 得出 2，再求不等式的解集【解答】解：把 x2 代入 y1kx+b 得，y12k+b，把 x2 代入 y2x +a 得，y22+a，由 y1y 2，得：2k +b2+a，解得 2，解 kx+bx+a 得，（k1）xab，k0，k10，解集为：x ，x2故答案为：x2【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题的关键是求出 2，把 看作整体求解

23、集16如图，在ABC 中，ABAC ，A40，点 D 在 AC 上，BDBC，则ABD 的度数是 30 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出ABCC，再求出 CBD，然后根据ABDABCCBD 代入数据计算即可得解【解答】解：ABAC，A40，ABCC （18040）70，BDBC，CBD18070240，ABDABCCBD704030故答案为：30【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键17如图，Rt ABC 中，ABC90，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，ADBC，且AB 3，BC4 ，则 AD 的长为 【分析】先根据勾股定理求出

24、AC 的长，再根据 DE 垂直平分 AC 得出 OA 的长，根据相似三角形的判定定理得出AOD CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论【解答】解：RtABC 中，ABC90，AB3，BC4，AC 5，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，OA AC ，AOD B90，ADBC，AC，AOD CBA ， ，即 ，解得 AD 故答案为： 【点评】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键18在平面直角坐标系中，已知 A（2，4）、P（1，0），B 为 y 轴上的动点，以 AB 为边构造ABC，使点 C 在

25、 x 轴上， BAC90M 为 BC 的中点，则 PM 的最小值为 【分析】如图，作 AHy 轴于 H，CE AH 于 E则四边形 CEHO 是矩形，OH CE 4，由AHBCEA ，得 ，推出 ，推出 AE2BH，设 BHx 则 AE2x ，推出B（0，4x）， C（2+2 x，0），由 BMCM，推出 M（ 1+x， ），可得 PM ，由此即可解决问题【解答】解：如图，作 AH y 轴于 H，CE AH 于 E则四边形 CEHO 是矩形，OH CE 4，BACAHBAEC 90，ABH+HAB 90，HAB +EAC90，ABHEAC，AHBCEA， ， ，AE2BH ，设 BHx 则 A

26、E2x，OCHE2+2 x，OB4x，B（0，4x）， C（2+2 x，0）BMCM，M（1+x， ），P（1，0），PM ，x 时，PM 有最小值，最小值为 故答案为 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19计算与化简（1）| 1| （5 ） 0+4cos45（2）（a+b） 2a（a2b）【分析】（1）先求出 、（5）

27、0、cos45的值，再求出答案即可；（2）先算乘法，再合并同类项即可【解答】解：（1）原式1 1+4 ；（2）原式a 2+2ab+b2a 2+2ab4ab+b 2【点评】本题考查了整式的混合运算、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟练运用整式的运算法则进行化简是解（2）的关键20（1）解方程： ；（2）解不等式组： 【分析】（1）分式方程两边都乘以（x2），把分式方程化为整式方程，求解，再进行检验即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解【解答】解：（1）方程两边都乘以（x2）得，1x13（x2），解得 x2，检验：当 x2 时，x 2

28、220，所以，原分式方程无解；（2） ，解不等式 得， x1，解不等式 得， x2，所以，不等式组的解集是1x2【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）21如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD ，相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB、CD 分别相交于点 E、 F，求证： AECF【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ABCD，OAOC，继而证得AOECOF，则可证得结论【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，OAOC，OAEOCF，在OAE

29、 和OCF 中，AOECOF（ASA ），AECF【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用22某同学报名参加校运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用 A1、A 2、A 3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 B1、B 2 表示）（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ；（2）该同学从 5 个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率【分析】（1）由 5 个项目中田赛项目有 2 个，直接利用概率公式求解即可求得答

30、案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）5 个项目中田赛项目有 2 个，该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为： ；故答案为： ；（2）画树状图得：共有 20 种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的 12 种情况，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情

31、况数之比23某企业 500 名员工参加安全生产知识测试，成绩记为 A，B，C，D，E 共 5 个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图；（2）如果测试成绩（等级）为 A，B，C 级的定位优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数【分析】（1）抽查人数的样本容量可由 A 级所占的比例 40%，根据总数某级人数比例来计算；可由总数减去 A、C、D、E 的人数求得 B 级的人数，再补全条形统计图；（2）用样本估计总体，用总人数达到优秀的员工的百分比，就是要求

32、的结果【解答】解：（1）依题意有：2040%50（人），则这次抽样调查的样本容量为 50502058512（人）补全图 为：；（2）依题意有 500 370（人）答：估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数为 370 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键会画条形统计图也考查了用样本估计总体24阅读理解：x表示不大于 x 的最大整数，例2.3 2， 5.66（1）8.2 8 3 （2）x 2 的 x 的取值范围 2x3 （3）直接写出方程2xx 2 的解【分析】（1）根据x表示不大于 x 的最大整数

33、即可求解；（2）结合题目给出x的定义，可以判断 x2 中，x 与 2 的大小关系；（3）结合题目给出x的定义，可以判断 2xx 2 中，2x 与 x2 的大小关系，从而列出不等式组，确定 x 的范围，最后求出 x 的值；【解答】解：（1）小于 8.2 的最大整数位 8，小于 最大的整数位3；故答案为：8；3（2）：x 表示不大于 x 的最大整数，2x3故答案为：2x3（3）由题意可得 ，解得：0x2x 2 为整数x0， ， ，2方程2x x 2 的解为： 0， ， ，2【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解25已知：如图，AB 为O 的直径，

34、O 过 AC 的中点 D，DEBC 于点 E（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若 DE2，tan C ，求O 的直径【分析】（1）连接 OD，利用 D 是 AC 中点，O 是 AB 中点，那么 OD 就是ABC 的中位线，利用三角形中位线定理，可知 ODBC ，而 DEBC ，则DEC90，利用平行线的性质，有ODE DEC 90，即 DE 是 O 的切线；（2）连接 BD，由于 AB 是直径，那么ADB90，即 BDAC，在ABC 中，点 D 是 AC 中点，于是 BD 是 AC 的垂直平分线，那么 BABC，在 RtCDE 中，DE2，tanC ，可求CE4，再利用勾股定理可求 CD2

35、 ，同理在 RtCDB 中，CD2 ，tanC ，可求BD ，利用勾股定理可求 BC5，从而可知 BABC5【解答】（1）证明：连接 ODD 为 AC 中点，O 为 AB 中点，OD 为ABC 的中位线，ODBC，DEBC，DEC90，ODE DEC 90，ODDE 于点 D，DE 为 O 的切线；（2）解：连接 DB，AB 为O 的直径，ADB90，DBAC，CDB90D 为 AC 中点，ABBC，在 Rt DEC 中，DE2，tanC ，EC ，由勾股定理得：DC ，在 Rt DCB 中， BD ，由勾股定理得：BC5，ABBC5， O 的直径为 5【点评】本题主要是作出合适的辅助线利用了

36、三角形中位线的判定和性质、平行线的性质、切线的判定、直径所对的圆周角等于 90、三角函数值、勾股定理26某工厂计划生产 A、B 两种产品共 60 件，需购买甲、乙两种材料，生产一件 A 产品需甲种材料 4 千克，乙种材料 1 千克；生产一件 B 产品需甲、乙两种材料各 3 千克，经测算，购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 60 元；购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金 155 元（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 9900 元，且生产 B 产品不少于 38 件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产

37、一件 A 产品需加工费 40 元，若生产一件 B 产品需加工费 50 元，应选择哪种生产方案，使生产这 60 件产品的成本最低？（成本材料费+加工费）【分析】（1）设甲种材料每千克 x 元，乙种材料每千克 y 元，根据题意列出方程，解方程即可；（2）设生产 B 产品 a 件，生产 A 产品（60a）件根据题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果；（3）设生产成本为 W 元，根据题意得出 W 是 a 的一次函数，即可得出结果【解答】解：（1）设甲种材料每千克 x 元，乙种材料每千克 y 元，依题意得： ，解得： ；答：甲种材料每千克 25 元，乙种材料每千克 35 元（2）设生产 B 产

38、品 a 件，生产 A 产品（60a）件依题意得：解得：38a40；a 的值为非负整数，a38、39、40；答：共有如下三种方案：方案 1、A 产品 22 个，B 产品 38 个，方案 2、A 产品 21 个，B 产品 39 个，方案 1、A 产品 20 个，B 产品 40 个；（3）生产 A 产品 22 件，B 产品 38 件成本最低理由如下：设生产成本为 W 元，则 W 与 a 的关系式为：W（254+35 1+40）（60a）+（353+253+50）a55a+10 500，即 W 是 a 的一次函数，k550W 随 a 增大而增大当 a38 时，总成本最低；即生产 A 产品 22 件，B

39、 产品 38 件成本最低【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用；根据题意中的数量关系列出方程组、不等式组、一次函数关系式是解决问题的关键27已知： ，PB4，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧（1）如图，当APB45时，求 AB 及 PD 的长；（2）当APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应APB 的大小【分析】（1）作辅助线，过点 A 作 AEPB 于点 E，在 RtPAE 中，已知APE，AP 的值，根据三角函数可将 AE，PE 的值求出，由 PB 的值，可求 BE 的值，在 RtABE 中

40、，根据勾股定理可将 AB 的值求出；求 PD 的值有两种解法，解法一：可将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90得到P AB，可得PADPAB，求 PD 长即为求 PB 的长，在 RtAP P 中，可将 PP的值求出，在 RtPPB 中，根据勾股定理可将 PB 的值求出；解法二：过点 P 作 AB 的平行线，与 DA 的延长线交于 F，交 PB 于 G，在 RtAEG 中，可求出AG，EG 的长，进而可知 PG 的值，在 RtPFG 中，可求出 PF，在 RtPDF 中，根据勾股定理可将 PD 的值求出；（2）将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90，得到PAB ，PD 的最大值即为 PB 的最大值，

41、故当P、P、B 三点共线时，P B 取得最大值，根据 PBPP +PB 可求 PB 的最大值，此时APB 180APP 135【解答】解：（1）如图，作 AEPB 于点 E，APE 中，APE 45，PA ，AEPE 1，PB4，BEPBPE 3，在 Rt ABE 中，AEB90，AB 解法一：如图，因为四边形 ABCD 为正方形，可将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90得到PAB ，可得PADP AB，PDPB，PAPAPAP 90 ，APP45 ，P PB90PP PA2，PDP B ；解法二：如图，过点 P 作 AB 的平行线，与 DA 的延长线交于 F，与 DA 的延长线交 PB 于 G

42、在 Rt AEG 中，可得 AG ，EG ，PG PEEG 在 Rt PFG 中，可得 PFPG cosFPG PGcosABE ，FG 在 Rt PDF 中，可得，PD （2）如图所示，将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90得到PAB，PD 的最大值即为 PB 的最大值，PPB 中，P BPP+PB ，PP PA2，PB4，且 P、D 两点落在直线 AB 的两侧，当 P、P、B 三点共线时，PB 取得最大值（如图）此时 PBPP+PB6，即 PB 的最大值为 6此时APB 180APP 135 度【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生

43、充分发挥想象空间，确定 PB 取得最大值时点 P的位置28如图，过 A（1，0）、B（3，0）作 x 轴的垂线，分别交直线 y4x 于 C、D 两点抛物线yax 2+bx+c 经过 O、C、D 三点（1）求抛物线的表达式；（2）点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样的点 M，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 M 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOC 沿 CD 方向平移（点 C 在线段 CD 上，且不与点 D 重合），在平移的过程中AOC 与OBD 重叠部分的面积记为 S，试求 S 的最大值【分析

44、】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知 MNAC ，因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MNAC3设点 M 的横坐标为 x，则求出 MN| x24x|；解方程| x24x|3，求出 x 的值，即点 M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为 t（0t 2），利用平移性质求出 S 的表达式：S （t1）2+ ；当 t1 时，s 有最大值为 【解答】解：（1）由题意，可得 C（1，3），D（3，1）抛物线过原点，设抛物线的解析式为：yax 2+bx ，解得 ，抛物线的表达式为：y x2+ x（2）存在设直线 OD 解析式为 ykx ，将 D（3，1）代入，求得 k ，直线 OD 解析式为 y x设点 M 的横坐标为 x，则 M（ x， x），N（x， x2+ x），MN|y My N| x（ x2+ x）| | x24x| 由题意，可知 MNAC，因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MNAC3| x2 4x|3若 x24x3 ，整理得：4x 212x90，解得：x 或 x ；若 x24x 3，整理得： 4x212x+90，解得：x 存在满足条件的点 M，点 M 的横坐标为： 或 或 （3）C（1，3），D（3，1）易得直线 OC 的解析式为 y3x，直