1、 海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2019.4本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合 ，且 ，则 可以是04PxMP(A) (B) (C) (D) 1， 2,1,20,5(2)若角 的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) (B) (C) (D) sin(+)s(+)cosin()s()co(3)已知等差数列 满足 ，则 中一定
2、为零的项是na324=a(A) (B) (C) (D)681012(4)已知 ，则下列各式中一定成立的是xy(A) (B) 1xy(C) (D) ()2xy2x(5)执行如图所示的程序框图，输出的 值为m(A) 18(B) 6(C) 51(D) 3(6)已知复数 ，则下面结论正确的是()zaiR(A) (B) 1z(C) 一定不是纯虚数 (D)在复平面上， 对应的点可能在第三象限z z(7)椭圆 与双曲线 的离心率之积为 1，则双曲线 的两21:4xCy2:1xyCab2C条渐近线的倾斜角分别为(A) ， (B) ， (C) ， (D) ，636532(8)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择
3、是物理、生物、政治这三科，且物理在 A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有第一节 第二节 第三节 第四节地理B层2班 化学A层3班 地理A层1班 化学A层4班生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班(A)8 种 (B) 10 种 (C) 12 种 (D) 14 种第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共
4、30 分(9)已知 成等比数列，且 ，则 _,4ac0a22loglac(10)在ABC 中， ，则 ， 1,cs8bC=ABCS( 11)已知向量 =（1，-2） ，同时满足条件 ， 的一个向量 的坐标r rbarbr为 ( 12)在极坐标系中，若圆 关于直线 对称，则 2cosacos3in10a(13)设关于 的不等式组 表示的平面区域为 记区域 上的点与点,xy0,1xyk， 距离的最小值为 ，则(0,1)A()d(I)当 时， ；=k1()若 ，则 的取值范围是_()2k( 14)已知函数 ， ，其中 .若 ，使得fx2()gax0a12,1,x成立，则 _1()fx21()gx2a
5、三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程。(15)（本小题满分 13 分）已知函数 的最大值为 ()cos()s4fxx2()求 的值；a()求函数 的单调递增区间()f(16)（本小题满分 13 分）据人民网报道， “美国国家航空航天局( NASA)发文称，相比 20 年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿 ”据统计，中国新增绿化面积的 42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在 2017 年植树造林的相关数据 （造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷造林方式地区 造林总面积人工造林
6、飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643河南 149002 97647 13429 22417 15376 133重庆 226333 100600 62400 63333陕西 297642 ， 184108 33602 63865 16067甘肃 325580 260144 57438 7998新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091青海 178414 16051 159734 2629宁夏 91
7、531 58960 22938 8298 1335北京 19064 10012 4000 3999 1053(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区； ()在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？()在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记 X 为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求 X 的分布列及数学期望(17)（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 中， ，点 分1ABC1,2ABC,DEF别为棱 的中点11,()求证： 平面 DEF()求证
8、：平面 平面 ;1ACB()在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为 300?如果存在，PD1ACB求出线段 的长；如果不存在，说明理由P(18)（本小题满分 14 分）已知函数 .2()ln(1)fxax(I)求曲线 在点 处的切线方程；y0,(f()当 时，求证：函数 存在极小值；0a)x()请直接写出函数 的零点个数(f( 19)（本小题满分 13 分）已知抛物线 ，其中 点 在 的焦点 的右侧，且 M 到2:Gypx0(2,)MGF的准线的距离是 与 距离的 3 倍经过点 的直线与抛物线 交于不同的MF两点，直线 OA 与直线 交于点 ，经过点 且与直线 垂直的直线 交
9、轴AB， PBOAlx于点 .Q(I)求抛物线的方程和 的坐标；()判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由PAB( 20)（本小题满分 13 分） 首项为 O 的无穷数列 同时满足下面两个条件：na ；1na12na()请直接写出 的所有可能值；4()记 ，若 对任意 成立，求 的通项公式；2nba1nb*nNnb()对于给定的正整数 ，求 的最大值k2.ka海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2019.04阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，
10、共 40 分.1. A 2. D 3. A 4. D 5. B 6. B 7. C 8. B 二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 10. 11. （答案不唯一） 12. 13. 14. 三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（共 13 分）解：（）因为 所以函数 的最大值为 所以 所以 （）因为 的单调递增区间为 ，令 所以 函数 的单调递增区间为 ， 16.（共 13 分）解：() 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省 () 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件
11、 在十个地区中，有 7 个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过 ，则 （）新封山育林面积超过五万公顷有 个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有 个地区：内蒙、河北、重庆， 所以 的取值为 所以 ， 随机变量 的分布列为17.（共 14 分）解：()方法一：连结因为 分别为 , 中点, 所以 又因为 ，所以 因为 分别为 , 中点，所以又因为平面 ， 平面平面 ， 平面所以平面 平面 又 平面 ，所以 平面 方法二：取 中点为 ,连结由 且又点 为 中点，所以 又因为 分别为 , 中点,所以 所以所以 共面于
12、平面 因为 , 分别为 中点, 所以平面平面所以 平面 方法三：在直三棱柱 中， 平面又因为以 为原点，分别以 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系由题意得 , .所以 ,设平面 的法向量为 ，则，即令 ，得于是 又因为所以 又因为 平面 ，所以 平面 （）方法一：在直棱柱 中， 平面因为 ，所以 又因为 ，且所以 平面 平面 ，所以又 ，四边形 为正方形所以 又 ，所以又 ，且所以 平面 又 平面所以平面 平面 方法二：设平面 的法向量为 ，即 令 ，得于是 即 ，所以平面 平面 （）设直线 与平面 所成角为 ，则设 ，则 所以 解得 或 （舍）所以点 存在，即 的中点， 18 （共 14
13、 分）解：（） 的定义域为因为 所以切点的坐标为因为 所以切线的斜率 ，所以切线的方程为 （）方法一：令 因为 且 ，所以 ， ， 从而得到 在 上恒成立 所以 在 上单调递增且 ，所以 ， ， 在区间 的变化情况如下表:极小值所以 时， 取得极小值，问题得证 方法二：因为 当 时，当 时， ，所以 当 时， ，所以 所以 ， ， 在区间 的变化情况如下表:极小值所以 时，函数 取得极小值，问题得证 （）当 或 时，函数 有一个零点 当 且 时，函数 有两个零点 19.（共 13 分）解：()抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 所以有 ，解得 所以抛物线方程为 ，焦点坐标为 ()直线 方法一：
14、设 ， ，设直线 的方程为 联立方程 消元得， 所以 ， 显然 ，直线 的方程为 令 ，则 ，则 因为 ，所以 直线 的方程为 ，令 ，则 ，则 当 时，直线 的斜率不存在， ，可知 ，直线 的斜率不存在，则 当 时， ， ，则综上所述， 方法二：直线 (1) 若直线 的斜率不存在，根据对称性，不妨设 ，直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，即 ，令 ，则 ，则直线 的斜率不存在，因此 (2) 设 ， ，当直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 联立方程，消元得， ，整理得， 由韦达定理，可得 ， ，因为 ，可得 .显然 ，直线 的方程为令 ，则 ，则 因为 ，所以 直线 的方程为 ，令 ，则
15、 ，则 ，则 综上所述， 20.（共 14 分）解：（） 的值可以取 （）因为 ，因为 对任意 成立，所以 为单调递增数列，即数列 的偶数项 是单调递增数列根据条件 ，所以当 对 成立 下面我们证明“数列 中相邻两项不可能同时为非负数”假设数列 中存在 同时为非负数因为 ，若 则有 ，与条件矛盾若 则有 ， 与条件矛盾 所以假设错误，即数列 中相邻两项不可能同时为非负数 此时 对 成立，所以当 时， ，即所以 ，所以即 ，其中 即 ，其中又 ，所以 是以 ，公差为 的等差数列，所以 （） 记由（）的证明知， 不能都为非负数当 ，则 ，根据 ，得到 ，所以当 ，则根据 ，得到 ，所以所以，总有 成立 当 为奇数时， ，故 的奇偶性不同，则当 为偶数时， 当 为奇数时，考虑数列： ， 可以验证，所给的数列满足条件，且 所以 的最大值为 当 为偶数时，考虑数列： ， ，- ， ， 可以验证，所给的数列满足条件，且 所以 的最大值为
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