1、2019 年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知集合 Ax|ylog 2（x1），B y|y 2+ ，则 AB（ ）A2，+ ） B（1，2） C（1，2 D（1，+）2（5 分）已知复数：z ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3（5 分）已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A85 B84 C83 D814（5 分）已知向量 （2，1），| + |4， 1，则| |（ ）A2 B3 C6 D125（
2、5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，线段 OF（O 为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于 M，N 两点，若|MN| 4，则|MF|（ ）A B6 C D36（5 分）设 a0.5 0.5，b0.3 0.5，clog 0.30.2，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Acab Bbac Ccba Dabc7（5 分） + 的最小值为（ ）A18 B16 C8 D68（5 分）在（2 ） 5 的展开式中，x 的系数为（ ）A32 B40 C80 D809（5 分）已知函数 f（x ）2sin（x+）（0，| ）的部分图象如图所示，则下列区间使函数 f（x）单调递减的是（ ）A ，
3、 B ， C ， D ， 10（5 分）已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为 ，则h（ ）A B2 C2 D11（5 分）若函数 f（x ） x4+ax3+ x2b（a，b R）仅在 x0 处有极值，则 a 的取值范围为（ ）A2，2 B1，1 C2 ，6 D 1，412（5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的一个焦点恰为圆：x 2+y24x 80 的圆心，且双曲线 C 的近线方程为 y x点 P 在双曲线 C 的右支上，F 1，F 2 分别为双曲线 C 的左、右焦点，则当 取得最小值时，|PF1|（ ）A2 B4 C6 D8二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分
4、，共 20 分13（5 分）在区间1，3上随机取一个数 x，则| x|1 的概率为 14（5 分）已知 x，y 满足约束条件 则 zx4y 的最小值是 15（5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，O 是 BD 的中点，点 P 在线段 OB 上移动（不与点 O，B 重合），异面直线 A1D 与 C1P 所成的角为 ，则 cos 的取值范围是 16（5 分）如图，平面四边形 MNPQ 中，MQP 90，NMQ60，MN3，NQ2 ，则 NP 的最小值为 三、解答题：共 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（12 分）已知数列a n为等差数列，a n0，且满足 32a3
5、+32a11a 72，数列 bn满足bn+12 bn0，b 7a 7（）求数列b n的通项公式；（）若 cnnb n，求数列c n的前 n 项和 Sn18（12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，平面 ACC1A1平面 ABC，ACB90，AB 4，BC2 ，侧面 ACC1A1 是菱形，A 1AC60 ，点 D，E 分别为 A1B1，AC 的中点（1）证明：AD平面 EB1C1；（）求直线 AA1 与平面 EB1C1 所成角的正弦值19（12 分）为了应对日益严重的交通压力和空气质量问题，某城市准备出台新的交通限行政策，为了了解市民对“汽车限行”的态度，在当地市民中随机选取 100
6、 人进行调查，调查情况如表：年龄段 15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75调查人数 5 15 20 n 20 10赞成人数 3 12 17 18 16 2（）求出表格中 n 的值，并完成参与调查的市民年龄的频率分布直方图；（）从这 100 人中任选 1 人，若这个人赞成汽车限行，求其年龄在35，45）的概率；（）若从年龄在45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成汽车限行进行分层抽样，从中抽取 10 人参与某项调查，然后再从这 10 人中随机抽取 3 人参加座谈会，记这 3 人中赞成汽车限行的人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望20（12 分）设椭圆
7、E： + 1（ab0）的上焦点为 F，椭圆 E 上任意动点到点F 的距离最大值为 +1，最小值为 1（）求椭圆 E 的标准方程；（）过点 F 作两条相互垂直的直线，分别与椭圆 E 交于 P，Q 和 M，N ，求四边形PMQN 的面积的最大值21（12 分）已知函数 f（x）lnx （aR ）（）若函数 f（x ）在点（2，f（2）处的切线斜率为 ，求 a 的值；（）若函数 h（x）f（x）+ ，且 h（x）在（0，+）上单调递增，求 a 的取值范围；（）若 b，c（0，+），且 bc，求证： lnblnc选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参
8、数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为24cos 2sin +10 ，M 的极坐标为（ ， ）（）写出曲线 C 的直角坐标方程及 M 的直角坐标；（）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|MA |MB|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|12x|+| x+2|（）解不等式 f（x ）4；（）若 f（x） m 2 对任意 x 恒成立，求实数 m 的取值范围2019 年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出
9、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知集合 Ax|ylog 2（x1），B y|y 2+ ，则 AB（ ）A2，+ ） B（1，2） C（1，2 D（1，+）【分析】可解出集合 A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| x1，By|y2；AB2 ，+）故选：A【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算2（5 分）已知复数：z ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】对复数 z 进行化简，从而求出其所在的象限即可【解答】解：z ，故 z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B【点评】本题考查了复数
10、的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题3（5 分）已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A85 B84 C83 D81【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解【解答】解：由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：（75+81+85+89+95 ）85故选：A【点评】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5 分）已知向量 （2，1），| + |4， 1，则| |（ ）A2 B3 C6 D12【分析】将| + |4 两边平方可得【解答】解：| + |4， 2+ 2+2 16，5+| |2+216，| |3故选：B【点评】本题考查
11、了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题5（5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，线段 OF（O 为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于 M，N 两点，若|MN| 4，则|MF|（ ）A B6 C D3【分析】求出 M 的坐标，得到 p，然后求解|MF| 【解答】解：抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F（ ，0），线段 OF（O 为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于 M（ ， ），N（ ， ）两点，若|MN | 4，可得： p4，可得 p2 ，所以|MF| ，故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查6（5 分）设 a0.5 0.5，b0.3 0.5
12、，clog 0.30.2，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Acab Bbac Ccba Dabc【分析】利用幂函数的性质比较 b 与 c 的大小，利用指数函数的性质比较 b 与 1 的大小，利用对数式的运算性质得到 c 大于 1，从而得到结论【解答】解：因为 yx 0.5 在（0，+）上是为增函数，且 0.50.3，所以0.50.50.3 0.5，即 abclog 0.30.2log 0.30.31，而 10.5 00.5 0.5所以 bac故选：B【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题7（5 分） + 的最小值为（ ）A18 B16 C8 D6【分析】直接
13、利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果【解答】解：9+1+ 16，故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8（5 分）在（2 ） 5 的展开式中，x 的系数为（ ）A32 B40 C80 D80【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 1 求得 r 值，则答案可求【解答】解：（2 ） 5 的展开式的通项为 令 ，得 r1x 的系数为 故选：C【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题9（5 分）已知函数 f（x ）2sin（x+）（0，| ）的部分图象如
14、图所示，则下列区间使函数 f（x）单调递减的是（ ）A ， B ， C ， D ， 【分析】首先利用三角函数的图象求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间【解答】解：函数 f（x ）2sin（x+）（0，| | ）的部分图象如图所示，则： ，所以：T，则： ，当 x 时，f（ ）2sin（2 +）0，所以： k（k Z），解得：k （k Z），由于：| ，当 k0 时， ，所以函数 f（x） 2sin（2x ），令： （k Z），解得： （k Z），当 k0 时，函数的单调递减区间为 故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主
15、要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10（5 分）已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为 ，则h（ ）A B2 C2 D【分析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，画出其直观图，根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱锥的高 h，【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：O 为 AC 的中点，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，FO底面 ABC，OBOCOA1，几何体的外接球的球心为 E 是ACD 的外心，半径为 r，该几何体的外接球体积为 ，外接球的体积 V r3 r2，h2
16、 故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的性质，求得外接球的半径11（5 分）若函数 f（x ） x4+ax3+ x2b（a，b R）仅在 x0 处有极值，则 a 的取值范围为（ ）A2，2 B1，1 C2 ，6 D 1，4【分析】求导函数，要保证函数 f（x ）仅在 x0 处有极值，必须满足 f（x）在 x0两侧异号【解答】解：由题意，f（ x）x 3+3ax2+9xx（x 2+3ax+9）要保证函数 f（x ）仅在 x0 处有极值，必须满足 f（x）在 x0 两侧异号，所以要 x2+3ax+90 恒成立，由判别式有：（3a） 2360，9a
17、 2362a2，a 的取值范围是2，2故选：A【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题12（5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的一个焦点恰为圆：x 2+y24x 80 的圆心，且双曲线 C 的近线方程为 y x点 P 在双曲线 C 的右支上，F 1，F 2 分别为双曲线 C 的左、右焦点，则当 取得最小值时，|PF1|（ ）A2 B4 C6 D8【分析】求得圆心可得焦点 F1（2，0），F 2（2，0），由渐近线方程，可得 a，b 的方程，解得 a1，设|PF 2|t，运用双曲线的定义，化简所求式子，利用基本不等式的性质即可得出最小值时所求
18、值【解答】解；由圆 ：x 2+y24x80 的圆心（2，0），可得焦点 F1（2，0），F2（2，0），双曲线 C 的近线方程为 y x，可得 ，且 a2+b24，解得 a1，b ，设|PF 2| t，可得 |PF1|t+2， t+ +42 +48，当且仅当 t| PF2|2 时取等号，可得得|PF 1|4故选：B【点评】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（5 分）在区间1，3上随机取一个数 x，则| x|1 的概率为 【分析】由条件知1x3，然后解不等式的解，根据几何概
19、型的概率公式即可得到结论【解答】解：在区间1，3之间随机抽取一个数 x，则1x3，由|x |1 得1x1，根据几何概型的概率公式可知满足|x |1 的概率为 ，故答案为： 【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质解出不等式的是解决本题的关键，比较基础14（5 分）已知 x，y 满足约束条件 则 zx4y 的最小值是 7 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代入即可求 z 的最小值【解答】解：作出 x，y 满足约束条件对应的平面区域如图：zx4 y，得 y x ，平移直线 y x ，由图象可知当直线 y x 经过点 B 时，直线 y x 的
20、截距最大，此时 z 最小由 解得 A（1，2），此时 z 的最小值为 z1427故答案为：7【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法注意目标函数的几何意义15（5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，O 是 BD 的中点，点 P 在线段 OB 上移动（不与点 O，B 重合），异面直线 A1D 与 C1P 所成的角为 ，则 cos 的取值范围是 （0， ） 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1
21、 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA 1B1C1D1 中棱长为 2，则 A1（2，0，2），D（0，0 ，0），设 P（a，a，0），1a2，C 1（0，2，2），（2，0，2）， （a，a2，2），异面直线 A1D 与 C1P 所成的角为 ，cos ，1a2，cos （0， ）故答案为：（0， ）【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题16（5 分）如图，平面四边形 MNPQ 中，MQP 90，NMQ60，MN3，NQ2 ，则 NP 的最小值为 【分析】设PQN，MQN90，
22、由正弦定理可得 cos ，在NPQ 中，设 PQx，由余弦定理得 NP2（x ） 2+ ，根据二次函数的性质即可求出最小值【解答】解：设PQN， MQN90，则在AMNQ 中，MN3，NQ 2 ，由正弦定理可得 ，则 cos 在NPQ 中，设 PQx，NQ2 ，由余弦定理得NP2NQ 2+PQ22NQ PQcos12+x 222 x x 23 x+12（x ）2+ ，当 x 时，NP 最小，则 NP故答案为：【点评】本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、函数思想，属于中档题三、解答题：共 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（12 分）已知数列a n为等差数列，a n0
23、，且满足 32a3+32a11a 72，数列 bn满足bn+12 bn0，b 7a 7（）求数列b n的通项公式；（）若 cnnb n，求数列c n的前 n 项和 Sn【分析】（I）由等差数列的性质可得： 32a3+32a11a 72322a 70，解得 a7利用等比数列的通项公式即可得出（II）c nnb nn2 n1 ，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（I）由等差数列的性质可得： 32a3+32a11a 72322a 70，解得 a764数列b n满足 bn+12b n0，可得：数列b n是等比数列，公比为 2b 7a 764a 12664，解得 a11b n2 n1
24、 （）若 cnnb nn2 n1 ，数列c n的前 n 项和 Sn1+22+32 2+（n1） 2n2 +n2n1 ，2Sn2+22 2+323+（n1）2 n1 +n2n，S n1+2+2 2+2n1 n2 n n2 n，可得 Sn（n1）2 n+1【点评】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，平面 ACC1A1平面 ABC，ACB90，AB 4，BC2 ，侧面 ACC1A1 是菱形，A 1AC60 ，点 D，E 分别为 A1B1，AC 的中点（1）证明：AD平面 EB1C1；（）
25、求直线 AA1 与平面 EB1C1 所成角的正弦值【分析】（）取 B1C1 的中点 F，证得 AEFD 为平行四边形，进而得 AD，EF 平行，得证；（）利用平行把 AA1 转化为 CC1，只需作 CMEC 1 于 M，可证得 CM平面EB1C1，从而确定EC 1C 为所求角，结合正弦，余弦定理不难求解【解答】（1）证明：取 B1C1 的中点 F，连接 FD，FE，D 为 A1B1 的中点， ，又 E 为 AC 中点，AE ，DFAE，DFAE，四边形 AEFD 为平行四边形，ADEF，又 AD平面 EB1C1，EF平面 EB1C1，AD平面 EB1C1；（2）解：在三棱柱 ABCA 1B1C
26、1 中，AA1CC 1，只需求 CC1 与平面 EB1C1 所成角，在平面 ACC1A1 内作 CMEC 1 于 M，平面 ACC1A1平面 ABC，ACB90，BC平面 ACC1A1，BCCM，BCB 1C1，CMB 1C1，CM平面 EB1C1，CC 1M 即为 C1C 与平面 EB1C1 所成角，AB4，BC 2，AC2 ，侧面 ACC1A1 是菱形，A 1AC60，CC 12 ，CE ，ECC 1120，由余弦定理可得 EC1 ，再由正弦定理得 ，得 sinCC 1M 故直线 AA1 与平面 EB1C1 所成角的正弦值为 【点评】此题考查了线面平行，直线与平面所成角等，难度适中19（1
27、2 分）为了应对日益严重的交通压力和空气质量问题，某城市准备出台新的交通限行政策，为了了解市民对“汽车限行”的态度，在当地市民中随机选取 100 人进行调查，调查情况如表：年龄段 15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75调查人数 5 15 20 n 20 10赞成人数 3 12 17 18 16 2（）求出表格中 n 的值，并完成参与调查的市民年龄的频率分布直方图；（）从这 100 人中任选 1 人，若这个人赞成汽车限行，求其年龄在35，45）的概率；（）若从年龄在45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成汽车限行进行分层抽样，从中抽取 10 人参与某项调查，然后
28、再从这 10 人中随机抽取 3 人参加座谈会，记这 3 人中赞成汽车限行的人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望【分析】（）由样本容量求出 n 的值，填写频率分布表，画出频率分布直方图；（）利用条件概率公式计算所求的概率值；（）利用分层抽样求出抽取的人数，得出随机变量 X 的可能取值，计算对应的频率值，写出分布列，求出数学期望值【解答】解：（）由题意知，n10051520201030，填写频率分布表如下；年龄段 15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75调查人数 5 15 20 30 20 10频率 0.05 0.15 0.20 0.30 0.20 0.10
29、0.005 0.015 0.020 0.030 0.020 0.010画出频率分布直方图如下；（）从这 100 人中任选 1 人，则这个人赞成汽车限行，且年龄在35，45）的概率为P ；（）从年龄在45，55）中按分层抽样抽取 10 人，赞成的抽取 10 6（人），不赞成的抽取 4 人，再从这 10 人中随机抽取 3 人，则随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3；计算 P（X 0） ，P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ；X 的分布列为：X 0 1 2 3P数学期望值为 E（X）0 +1 +2 +3 【点评】本题考查了频率分布直方图与分层抽样应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数
30、学期望的计算问题，是中档题20（12 分）设椭圆 E： + 1（ab0）的上焦点为 F，椭圆 E 上任意动点到点F 的距离最大值为 +1，最小值为 1（）求椭圆 E 的标准方程；（）过点 F 作两条相互垂直的直线，分别与椭圆 E 交于 P，Q 和 M，N ，求四边形PMQN 的面积的最大值【分析】（）根据题中条件列出关于 a、c 的方程组，解出 a 和 c 的值，可得出 b 的值，进而可得出椭圆 E 的标准方程；（）对直线 PQ 与直线 MN 的斜率是否都存在分两种情况讨论当直线 PQ 与直线 MN 分别与 x 轴、y 轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形 PMQN 的面积；当直线
31、PQ 与直线 MN 的斜率都存在时，设直线 PQ 的方程为 ykx+1，设点P（x 1， y1）、Q（x 2，y 2），将直线 PQ 的方程与椭圆 E 的方程联立，消去 y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得出| MN|的表达式，从而得出四边形PMQN 面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形 PMQN 面积的取值范围结合 得出四边形 PMQN 面积的最大值【解答】解：（）设椭圆 E 的焦距为 2c（c 0），则有 ，解得 ， ，因此，椭圆 E 的方程为 ；（）如下图所示，椭圆 E 的上焦点为 F（0，1）当直线 PQ 与直线 MN 分别与 x 轴、y 轴垂直时，
32、则 ，此时，四边形 PMQN 的面积为 ；当直线 PQ、 MN 的斜率都存在时，设直线 PQ 的方程为 ykx+1，则直线 MN 的方程为 ，设点 P（x 1，y 1）、Q（x 2，y 2），将直线 PQ 的方程与椭圆 E 的方程联立 ，消去 y 得（k 2+2）x 2+2kx10，4k 2+4（k 2+2）8（k 2+1）0，由韦达定理可得 ， ，同理可得 ，所以，四边形 PMQN 的面积为 ，令 tk 2+11，则 k2t1，所以， ，t1，所以， ，由二次函数的基本性质可知，当 ，所以， 综上所述，四边形 PMQN 的面积的最大值为 2【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程
33、，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题的问题，同时也考查了弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题21（12 分）已知函数 f（x）lnx （aR ）（）若函数 f（x ）在点（2，f（2）处的切线斜率为 ，求 a 的值；（）若函数 h（x）f（x）+ ，且 h（x）在（0，+）上单调递增，求 a 的取值范围；（）若 b，c（0，+），且 bc，求证： lnblnc【分析】（）求出函数的导数，根据 f（2） ，求出 a 的值即可；（）求出 h（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性确定 a 的范围即可；（）问题转化为证明 ln 0，设 q（x）lnx ，根据函数的单调性证明即可【解答】
34、解：（）f（x ） ，故 f（2） ，解得：a4；（）h（x）f（x）+ lnx ，h（x） ，由函数在（0，+）递增，得 h（x）0 在 x0 恒成立，即 x2+（22a）x +10，（x0），故 2a2x+ ，由 x+ 2 2，当且仅当 x1 时取最小值 2，故 2a22，解得：a2，即 a（，2；（）要证明 lnblnc，只需证明 ，即证 ln ，即证 ln 0，设 q（x）lnx ，由（）得，q（x）在（1，+）递增，而 1，故 q（x）q（1）0，即 ln 0，故 lnb lnc【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题选修
35、4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为24cos 2sin +10 ，M 的极坐标为（ ， ）（）写出曲线 C 的直角坐标方程及 M 的直角坐标；（）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|MA |MB|的值【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果【解答】解：（）曲线 C 的极坐标方程为 24cos2sin
36、+10，转换为直角坐标方程为：x 2+y24x 2y+10，M 的极坐标为（ ， ）转换为直角坐标为（1，1）（）把直线 l 的参数方程为 （t 为参数），代入 x2+y24x2y+1 0，得到： ，（t 1 和 t2 为 A、B 对应的参数），故： ，t 1t23所以：|MA|MB| t1t2|3【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|12x|+| x+2|（）解不等式 f（x ）4；（）若 f（x） m 2 对任意 x 恒成立，求实
37、数 m 的取值范围【分析】（）由绝对值的意义，讨论 x 时，当2x 时，当 x2 时，去掉绝对值解不等式，即可得到所求解集；（）若 f（x） m 2 对任意 x 恒成立，可得 m2 不大于 f（x）的最小值，再由绝对值的意义和绝对值不等式的性质，可得最小值，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（）不等式 f（x ）4 即为|2x1|+| x+2|4，当 x 时，2x 1+ x+24，解得 x1；当2x 时，12x +x+24，解得1x ；当 x2 时，12x x 2 4，即有 x ，解得 x，综上可得原不等式的解集为1，1 ；（）若 f（x） m 2 对任意 x 恒成立，可得 m2 不大于 f（x）的最小值，由 f（x）|12x |+|x+2|x |+（|x |+|x+2|）0+|x x2| ，当且仅当 x 时，f（x）取得最小值 ，可得 m2 ，即 m24，解得2m2，即 m 的取值范围是2，2 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和转化思想，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题
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