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    人教A版高中数学选修1-1《2.3.1抛物线及其标准方程》课件

    • 资源ID:55445       资源大小:3.94MB        全文页数:39页
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    人教A版高中数学选修1-1《2.3.1抛物线及其标准方程》课件

    1、2.3.1 抛物线及其标准方程,第二章 2.3 抛物线,学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义,能解决简单的求抛物线标准方程问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 抛物线的定义,思考1 平面内,到两定点距离相等的点的轨迹是什么?,答案 连接两定点所得线段的垂直平分线.,思考2 平面内,到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢?,答案 曲线,梳理 (1)定义:平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F) 的点的轨迹叫抛物线. (2)焦点:定点F叫抛物线的焦点.

    2、 (3)准线:定直线l叫抛物线的准线.,距离相等,知识点二 抛物线标准方程的几种形式,y22px(p0),y22px(p0),x22py(p0),x22py(p0),特别提醒:(1)方程特点:焦点在x轴上,x是一次项,y是平方项;焦点在y轴上,y是一次项,x是平方项. (2)一次项表明焦点所在轴,它的符号表明开口方向,有如下口诀: 焦点轴一次项,符号确定开口向; 若y是一次项,负时向下正向上; 若x是一次项,负时向左正向右.,思考辨析 判断正误 1.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.( ) 2.抛物线的方程都是y关于x的二次函数.( ) 3.方程x22ay(a0)是表示开口向

    3、上的抛物线.( ),题型探究,例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3,4);,类型一 求抛物线的标准方程,解答,解 方法一 点(3,4)在第四象限, 设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10). 把点(3,4)分别代入y22px和x22p1y, 得(4)22p3,322p1(4),,方法二 点(3,4)在第四象限, 抛物线的方程可设为y2ax (a0)或x2by (b0).,解 令x0得y5;令y0得x15. 抛物线的焦点为(0,5)或(15,0). 所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.,解答,(2) 焦点在直线x3y150上.,反思与

    4、感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法 (1)关键:确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数. (2)方法:直接法,建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程. 直接根据定义求p,最后写标准方程. 利用待定系数法设标准方程,找有关的方程组求系数.,跟踪训练1 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程. (1)y26x;,解答,解 由方程y26x,知抛物线开口向左,,(2)3x25y0;,解答,知抛物线开口向下,,(3)y4x2;,解答,知抛物线开口向上,,(4)y2a2x(a0).,解答,解 由方程y2a2x(a0)知抛物线开口向右,,类型二 抛物线定义的

    5、应用,例2 若动圆M与圆C:(x2)2y21外切,又与直线x10相切,则动圆圆心的轨迹方程为_.,y28x,答案,解析,解析 设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 由已知可得定圆圆心为C(2,0),半径r1. 因为两圆外切,所以|MC|R1. 又动圆M与已知直线x10相切, 所以圆心M到直线x10的距离dR. 所以|MC|d1. 即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x20的距离.,故其方程为y28x.,反思与感悟 (1)确定定点与定直线(定点在定直线外). (2)满足动点到定点与定直线的距离相等,便可确定动点轨迹为抛物线.,解答,由抛物线的定义知动点 M的轨迹是以F为焦点,l为准线的

    6、抛物线(不包含原点), 其方程应为y22px(p0)的形式,,故点M的轨迹方程为y22x(x0).,类型三 抛物线的实际应用,例3 如图所示,汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径是24 cm,灯深10 cm,那么灯泡与反光镜顶点(即截得抛物线的顶点)的距离为 A.10 cm B.7.2 cm C.3.6 cm D.2.4 cm,答案,解析,解析 以截得抛物线的顶点为原点,以反光镜的轴为x轴,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为y22px(p0),点(10,12)在抛物线y22px上,,1442p10,,灯泡与反光镜顶

    7、点的距离为3.6 cm.,反思与感悟 求抛物线实际应用的五个步骤 (1)建系:建立适当的坐标系. (2)设方程:设出合适的抛物线标准方程. (3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程. (4)求解:求出需要求出的量. (5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.,跟踪训练3 如图是抛物线型拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽_ m.,答案,解析,解析 以抛物线顶点为原点,以过原点平行于水面的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,,设抛物线的方程为x22py,则点(2,2)在抛物线上,代入可得p1,所以x22y.,达标检测,1.抛物线y 的准线方程是

    8、 A.y1 B.y2 C.x1 D.x2,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,2.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是 A.4 B.6 C.8 D.12,1,2,3,4,5,解析 由抛物线的定义可知,点P到抛物线焦点的距离是426.,解析,答案,解析,1,2,3,4,5,3.已知抛物线x24y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2,则点M的纵坐标是 A.0 B. C.1 D.2,解析 根据抛物线方程可求得焦点坐标为F(0,1),准线方程为y1,设M(xM,yM),根据抛物线定义,得yM12,解得yM1.,4.若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离少

    9、1,则动点P的轨迹方程是_.,1,2,3,4,5,答案,解析,y216x,解析 点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离少1, 点P到直线x4的距离和它到点(4,0)的距离相等. 根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点,以直线x4为准线的抛物线,设抛物线的标准方程为y22px(p0),,1,2,3,4,5,解答,5.求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点为(0,2);,(2)准线方程为y1;,p2,抛物线的标准方程为x24y.,1,2,3,4,5,解答,(3)过点(2,1);,解 点(2,1)在第三象限,分两种情况: 当焦点在x轴上时,设其方程为y22px,,当焦

    10、点在y轴上时,设其方程为x22py, 则42p,即p2,抛物线方程为x24y.,1,2,3,4,5,解答,(4)焦点到准线的距离为8.,解 焦点到准线的距离为8,p8, 所以抛物线方程有四种形式y216x,y216x,x216y,x216y.,1.抛物线的定义中不要忽略条件:点F不在直线l上. 2.确定抛物线的标准方程,从形式上看,只需求一个参数p,但由于标准方程有四种类型.因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论,有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx (m0),焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my (m0). 3.对于抛物线上的点,利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离,也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离.,规律与方法,


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