1、第2课时 双曲线几何性质的应用,第二章 2.2.2 双曲线的简单几何性质,学习目标 1.了解直线与双曲线的位置关系. 2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 直线与双曲线的位置关系,思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？,答案 不能.,梳理 设直线l：ykxm(m0)， ,把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.,(1)当b2a2k20，即k 时，直线l与双曲线C的渐近线 ，直线与双曲线 . (2)当b2a2k20，即k 时，(2a2m
2、k)24(b2a2k2)(a2m2a2b2). 0直线与双曲线 ，此时称直线与双曲线 ； 0直线与双曲线 ，此时称直线与双曲线 ； 0直线与双曲线 ，此时称直线与双曲线 .,平行,相交于一点,有两个公共点,相交,有一个公共点,相切,没有公共点,相离,知识点二 弦长公式,若斜率为k(k0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|_,思考辨析 判断正误 1.若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切.( ) 2.直线l：yx与双曲线C：2x2y22有两个公共点.( ),题型探究,(1)求双曲线C的方程；,类型一 直线与双曲线的位置关系,解答,所以a23b2，,解 联
3、立直线与双曲线方程，,解答,反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论.,跟踪训练1 已知双曲线x2 1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.,解答,解 当直线l的斜率不存在时， 直线l：x1与双曲线相切，符合题意. 当直线l的斜率存在时， 设l的方程为yk(x1)1， 代入双曲线方程， 得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50. 当4k2
4、0时，k2， 直线l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；,类型二 弦长公式及中点弦问题,解答,解 设直线l的方程为yxm，代入双曲线方程，得3x28mx4(m21)0， (8m)2434(m21)16(m23)0， m23. 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，,直线l的方程为yx5.,解答,(2)过点P(3,1)作直线l，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l的方程.,解 设直线l与双曲线交于A(x3，y3)，B(x4，y4)两点， 点P(3,1)为AB的中点，则x3x46，y3y42.,两式相减得(x3x4)(x3x4)4(y3y4)(y3y4)0，
5、,满足0， 所求直线l的方程为3x4y50.,反思与感悟 (1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k要保证满足相交，即验证0. (2)与弦中点有关的问题主要用点差法.,解答,(1)求此双曲线的方程；,解 已知椭圆的焦点为(0，1)， 即是双曲线的顶点， 因此设双曲线方程为y2mx21(m0)， ,A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程组成的方程组的两个解.,x1x2y1y20，,解答,(2)求|AB|.,类型三 由直线与双曲线相交求参数的取值范围(值),例3 已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为( ，0
6、). (1)求双曲线C的方程；,解答,解答,由直线l与双曲线交于不同的两点，得,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,反思与感悟 当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系式求解.,解答,跟踪训练3 已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1. (1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；,整理得(1k2)x22kx20，,解 双曲线C与直线l有两个不同的交点，,当双曲线C与直线l有两个不同的交点时，,解答,解 设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线l与y轴交于点D(0，1). 由(1)知，C与l联立的方程为(
7、1k2)x22kx20，,当A，B在双曲线上的一支上且|x1|x2|时， SOABSOADSOBD,当A，B在双曲线的两支上且x1x2时， SOABSODASOBD,达标检测,1.若直线ykx与双曲线4x2y216相交，则实数k的取值范围是 A.2k2 B.1k1 C.0k2 D.2k0,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 易知k2，将ykx代入4x2y216得关于x的一元二次方程(4k2)x2160，由0可得2k2.,答案,2.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,答案,解析,
8、1,2,3,4,5,3.直线yx1被双曲线2x2y23所截得的弦的中点坐标是 A.(1,2) B.(2，1) C.(1，2) D.(2,1),解析 将yx1代入2x2y23，得x22x40，,将x1代入直线方程yx1得y2，故选C.,4.过点A(3，1)且被A点平分的双曲线 y21的弦所在的直线方程是_.,1,2,3,4,5,答案,解析,3x4y50,所求直线方程为3x4y50.,1,2,3,4,5,答案,解析,3,解析 当直线l交双曲线于左右两支时，因为2a2，而|AB|4，故可有两条.若直线l交双曲线于同支，当直线l垂直于x轴时，|AB|4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条.,双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力. (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解. (2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.,规律与方法,
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