1、2.1.1 合情推理,第二章 2.1 合情推理与演绎推理,学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 归纳推理,思考,答案,答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.,(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电. (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体. 以上属于什么推理？,(1)定义：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由 概括出
2、的 推理，称为归纳推理. (2)特征：由 到 ，由 到 .,梳理,部分对象,对象,全部,个别事实,一般结论,部分,整体,个别,一般,知识点二 类比推理,思考,答案,答案 类比推理.,科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？,(1)定义：由两类对象具有某些 特征和其中一类对象的某些 特征，推出 也具有这些特征的推理称为类比推理. (2)特征：由 到 的推理.,梳理,类似,已知,另
3、一类对象,特殊,特殊,知识点三 合情推理,思考1,答案,答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理. 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.,归纳推理与类比推理有何区别与联系？,思考2,答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确.,归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？,答案,(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 、 、 ，再进行 、 ，然后提出
4、的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是合乎情理的推理. (2)推理的过程,梳理,观察,分析,比较,联想,归纳,类比,猜想,题型探究,类型一 归纳推理,命题角度1 数、式中的归纳推理 例1 (1)观察下列等式：,据此规律，第n个等式可为 _.,答案,解析,答案,解析,(2)已知f(x) ，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN*)，则 f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_.,引申探究 在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”，其他条件不变，试猜想fn(x) (nN*)的表达式.,解
5、答,(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征； 提炼出等式(或不等式)的综合特点； 运用归纳推理得出一般结论. (2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和. 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和； 根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解； 运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.,反思与感悟,答案,解析,答案,解析,命题角度2 图形中的归纳推理,例2 如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第
6、n个图形中顶点的个数为,A.(n1)(n2) B.(n2)(n3) C.n2 D.n,答案,解析,解析 由已知中的图形我们可以得到： 当n1时，顶点共有1234(个)， 当n2时，顶点共有2045(个)， 当n3时，顶点共有3056(个)， 当n4时，顶点共有4267(个)， ， 则第n个图形共有顶点(n2)(n3)个， 故选B.,图形中归纳推理的特点及思路 (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系. (2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.,反思与感悟,答案,解析,跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若
7、干个图案，则第n个图案中黑色地面砖的块数是_.,5n1,解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6(n1)55n1.,类型二 类比推理,命题角度1 数列中的类比推理 例3 设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4， _，_， 成等比数列.,答案,解析,解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比
8、数列.下面证明该结论的正确性： 设等比数列bn的公比为q，首项为b1，,已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比)：,反思与感悟,答案,解析,命题角度2 几何中的类比推理 例4 如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.,解答,解 如题图，在RtABC中，C90. 设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2. 类似地，如图所示， 在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90. 设S1，S2，S3和S
9、分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S. 于是类比勾股定理的结构，我们猜想 成立.,(1)类比推理的一般步骤,反思与感悟,(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：,跟踪训练4 在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.,解答,解 在长方形ABCD中，,于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别
10、为， 则cos2cos2cos21. 证明如下：,当堂训练,1,2,3,4,5,1.有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色.两种彩旗排成一行：,答案,解析,那么在前200个彩旗中黄旗的个数为 A.111 B.89 C.133 D.67,解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗.则200922余2，则200个旗子中黄旗的个数为223167.故选D.,1,2,3,4,5,答案,解析,2.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是 A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形,解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互
11、相平行，故选C.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,4.按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为_.,40,解析 图1中的点数为414， 图2中的点数为824， 图3中的点数为1234， 所以图10中的点数为10440.,1,2,3,4,5,5.在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_.,18,解析 设两个正四面体的体积分别为V1，V2，,答案,解析,规律与方法,1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向. 2.合情推理的过程概括为,本课结束,
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