1、第 1 页 共 20 页2019 届四川省攀枝花市高三第二次统一考试数学（文）试题一、单选题1已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部为（ ）A B C D【答案】B【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】由 ，得 ， z 的虚部为1故选： B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2集合 ， ，若 ，则由实数 组成的集合为（ ）A B C D【答案】D【解析】由条件确定集合 B 的元素的可能情况，代入方程 ax20，求解 a 即可【详解】集合 A-1，2， B x|ax20， BA， B或 B-1或 B2 a0，1，-2故选： D【点睛】本题考
2、查了子集的应用，确定集合 B 的可能情况是解题的关键，属于基础题型3已知 ， ，则 （ ）A B C D【答案】C【解析】先由题意，求出 ，得出 ，再利用正切函数的和差角公式求得答案即可.【详解】因为 ， ，所以 ，第 2 页 共 20 页即 而 故选 C【点睛】本题考查了三角恒等变换，熟练其公式，属于基础题.4已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 在 方向上的投影等于（ ）A B C D【答案】C【解析】利用 在 方向上的投影公式，及其数量积运算性质即可得出【详解】 24cos1204， 在 方向上的投影 故选 C【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义及运算性质，考查了向量的投影计算公式，
3、属于中档题5某校校园艺术节活动中，有 名学生参加了学校组织的唱歌比赛，他们比赛成绩的茎叶图如图所示，将他们的比赛成绩从低到高编号为 号，再用系统抽样方法抽出名同学周末到某音乐学院参观学习.则样本中比赛成绩不超过 分的学生人数为（ ）A B C D不确定【答案】B【解析】计算系统抽样比例值，再结合图中数据求出抽取的学生人数【详解】第 3 页 共 20 页根据题意知抽样比例为 2464，结合图中数据知样本中比赛成绩不超过 85 分的学生人数为6 2（人） 故选： B【点睛】本题考查了抽样方法的简单应用问题，确定比例是关键，是基础题6已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ， 成等差数列，则 （ ）A
4、 B C D【答案】D【解析】设公比为 q，且 q0，由题意可得关于 q 的式子，解得 q，而所求的式子等于 q2，计算可得【详解】设各项都是正数的等比数列 an的公比为 q， （ q0）由题意可得 2 + ，即 q22 q30，解得 q1（舍去） ，或 q3，故 q29故选： D【点睛】本题考查等差中项的应用和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属于基础题7如图，在正方体 中， 是 的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值为（ ）A B C D第 4 页 共 20 页【答案】A【解析】先取 AD 的中点 F，CD/ F，即异面直线 和 所成角就是 ，然后设出边长，求出 EF 和 ，求
5、得结果.【详解】取 AD 的中点为 F，连接 EF、 F，因为 CD/ F，所以异面直线 和 所成角就是直线 和 所成角，设正方体边长为 a，EF=a，所以 故选 A【点睛】本题主要考查了空间几何中异面直线的夹角问题，作出异面直线的夹角是解题的关键，属于较为基础题.8已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为（ ）A B C D【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥 PABC，其中 PC底面 ABC， 底面ABC 是一个三边分别为 ， ，2 的三角形，PC 2利用勾股定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理即可判断出结论【详解】由三视图可知：该几
6、何体为一个三棱锥 P ABC， 其中 PC底面 ABC，底面 ABC 是一个三边分别为 ， ，2 的三角形，PC 2第 5 页 共 20 页由 ，可得A 90又 PC底面 ABC， PCBC ， PCAC由三垂线定理可得：ABAC因此该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为 4故选： D【点睛】本题考查了三棱锥的三视图及结构特征，考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上为单调函数，则方程的解集为（ ）A B C D【答案】C【解析】利用函数的奇偶性求出 b，利用函数的单调性求解方程即可【详解】由 12 b b
7、得， b1，则 f（ x）在0，1上单调，由方程 ，可得 且 ，解得 ,并且有 ，或 成立，解得 x=1， 或- （舍去）故选： C【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力与分析问题的能力，属于中档题10在 中，点 满足 ，过点 的直线与 ， 所在的直线分别交于点 ，若 ， （ ） ，则 的最小值为（ ）A B C D第 6 页 共 20 页【答案】A【解析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得 的最小值【详解】如图所示，又 2 ， 2（ ） ， ；又 P、 M、 N 三点共线， 1， （ ）（ ）（ ）+（ ） 2 ，当且仅当 时取“”
8、 ， 的最小值是 故选： A【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，是中档题11已知 同时满足下列三个条件： ；是奇函数； .若 在 上没有最小值，则实数 的取值范围是（ ）第 7 页 共 20 页A B C D【答案】D【解析】先由 ，求得 ，由 是奇函数，求得 ，再利用 求得 ，然后再 在 上没有最小值，利用函数图像求得结果即可.【详解】由 ，可得 因为 是奇函数所以 是奇函数，即 又因为 ，即 所以 是奇数，取 k=1，此时所以函数 因为 在 上没有最小值，此时 所以此时 解得 .故选 D.【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，利用条件求得函数的解析式是解
9、题的关键，属于较难题.12定义在 上的函数 ， 单调递增， ，若对任意 ，存在 ，使得 成立，则称 是 在 上的“追逐函数”. 若 ，则下列四个命题： 是 在 上的“追逐函数”；若 是 在 上的“追逐函数” ，则 ； 是在 上的“追逐函数” ；当 时，存在 ，使得 是在 上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（ ）A B C D【答案】B第 8 页 共 20 页【解析】由题意，分析每一个选项，首先判断单调性，以及 ，再假设是“追逐函数” ，利用题目已知的性质，看是否满足，然后确定答案.【详解】对于，可得 ， 在 是递增函数， ，若是 在 上的“追逐函数” ；则 存在 ，使得成立，即 ，此时当
10、k=100 时，不存在 ，故错误；对于，若 是 在 上的“追逐函数” ，此时 ，解得，当 时， ， 在 是递增函数，若是“追逐函数”则 ，即 ，设函数 即 ，则存在 ，所以正确；对于 ， 在 是递增函数， ，若是 在 上的“追逐函数” ；则 存在 ，使得成立，即 ，当 k=4 时，就不存在，故错误；对于，当 t=m=1 时，就成立，验证如下：， 在 是递增函数， ，若 是在 上的“追逐函数” ；则 存在 ，使得成立，即 此时取 即 ，故存在存在 ，所以正确；故选 B【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、应用，函数的性质等，易错点是对新定义的理解不第 9 页 共 20 页到位而不能将其转化为两函
11、数的关系，实际上对新定义问题的求解通常是将其与已经学过的知识相结合或将其表述进行合理转化，从而更加直观，属于难题.二、填空题13 ， ，则 _.【答案】2【解析】分析： 由 ，可得 ，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.详解：由 ，可得 ，则 ，故答案为 .点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.14已知变量 ， 满足 ，则 的最小值为 _.【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由 z x+y 得 y x+z，平移直线 y x+z，由图
12、象可知当直线 y x+z 经过点 A 时，直线的截距最小，此时 z 最小，由 ，解得 A（3，0） ，此时 z3，故答案为-3第 10 页 共 20 页【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键15在 中，边 ， ， 所对的角分别为 ， ， ， 的面积 满足，若 ，则 外接圆的面积为_.【答案】【解析】本题先由余弦定理和面积公式，代入已知条件，求出 ，即求得角A，然后再利用正弦定理求出外接圆的半径 R，既而求得答案.【详解】由题，由余弦定理得： 由面积公式 在 的面积 满足 ，可得 ， ，即 再由正弦定理： 所以外接圆面积 故答案为【点睛】本题主要考查了正余弦定理的合理运
13、用，熟悉公式及化简是解题的重点，属于较为基础题.16已知 ，若关于 的方程 恰好有 个不相等的实数解，则实数 的取值范围为_.【答案】【解析】由方程 可解得 f（x）1 或 f（ x） m 1；分析函第 11 页 共 20 页数 f（ x）的单调性与极值，画出 f（x）的大致图像，数形结合即可得到满足 4 个根时的 m 的取值范围【详解】解方程 得，f（ x） 1 或 f（ x） m 1；又当 x0 时， f（ x） ；故 f（ x） 在（0 ，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；且 f（1） ， 当 x0 时， f（ x） 0,所以 在（，0）上是增函数，画出 的大致图像：若有四个不相等
14、的实数解，则 f（ x） 1 有一个根记为 t，只需使方程 f（ x） m 1 有 3 个不同于 t 的根，则 m 1 ；即 1 ；故答案为【点睛】本题考查了利用导数研究方程根的问题，考查了函数的单调性、极值与图像的应用，属于中档题第 12 页 共 20 页三、解答题17已知数列 中， ， .（I）求数列 的通项公式；（II ）设 ，求数列 的通项公式及其前 项和 .【答案】 （） （ ）.（） 【解析】 （I）由已知得 an an1 2 n-1，由此利用累加法能求出数列 an的通项公式（II）由（I）可得 ，由此利用裂项求和法能求出前n 项和【详解】（）当 时，由于 ，所以又 满足上式，故
15、（ ）.（） .所以 .【点睛】本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和裂项求和法的合理运用18某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前 5 年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份 （年）维护费 （万元）第 13 页 共 20 页已知 .（I）求表格中 的值；（II ）从这 年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有 年多于 万元的概率；（）求 关于 的线性回归方程；并据此预测第几年开始平均每台设备每年的维护费用超过 万元.参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 的系数
16、公式：【答案】 （） ；（） ；（） 第 10 年开始平均每台设备每年的维护费用超过 5 万元【解析】 （I）直接利用 ，用平均数的公式求解即可；（II）分别求出维护费用不超过 2 万元的有 3 年，分别编号为 ；超过 2 万元的有2 年，编号为 ，然后列出随机抽取两年的总事件，找出符合题意的，求的概率；（）先求出 ， ， ，然后利用公式求得回归方程，再根据题意解得维护费用超过 万元，得出答案.【详解】解：（）由 （）5 年中平均每台设备每年的维护费用不超过 2 万元的有 3 年，分别编号为 ；超过 2 万元的有 2 年，编号为 随机抽取两年，基本事件为 ， ， 共 10 个，而且这些基本事件
17、的出现是等可能的用 表示“抽取的 2 年中平均每台设备每年的维护费用至少有 1 年多于 2 万元” ，则包含的基本事件有 共 7 个，故 （） ， ，第 14 页 共 20 页 ，所以回归方程为 由题意有 ，故第 10 年开始平均每台设备每年的维护费用超过 5 万元【点睛】本题主要考查了回归方程和概率的综合题型，属于中档题.19如图，在四棱锥 中， 底面 ， 为直角， ， 、 分别为 、 的中点.（I）证明：平面 平面 ；（II ）求三棱锥 的体积.【答案】 （）见解析；（） 【解析】 （）根据题意，易得 ， ，得证；（）法一：由题易知 ，分别求出 得出答案；法二：过 作 ，证明 ，然后用等体
18、积法 求得结果.【详解】（）证明：由已知 为直角， 为 的中点， ,故是矩形， , , 又 分别为 的中点. ,，所以平面 第 15 页 共 20 页（）法一：如图所示,法二：过 作 【点睛】本题主要考查了立体几何的面面平行的判定和体积的求法，属于中档题.20已知抛物线 上一点 到焦点 的距离等于 .（I）求抛物线 的方程和实数 的值；（II ）若过 的直线交抛物线 于不同两点 ， （均与 不重合） ，直线 ， 分别交抛物线的准线 于点 ， .求证 .【答案】 （） ， （）见解析.【解析】 （）由抛物线的定义，求得方程和 t 的值；（II）设 ， ，设直线 的方程为 ，联立方程求得点和 再利
19、用斜率 =0，得证.【详解】解：（）由抛物线定义可知 ，故抛物线将 代入抛物线方程解得 （）证明：设 ， ，设直线 的方程为 ，代入抛物线 ，化简整理得：，则 第 16 页 共 20 页由已知可得直线 方程：令 ，同理可得将代入化简得： ，故 （也可用 ） 【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的相交问题，属于较难题.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在） ；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式） ，利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算.21已知函数 .（I）若 在 处取得极值，求过点 且与 在 处的切线平行的直
20、线方程；（II ）当函数 有两个极值点 ，且 时，总有 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （）【解析】 （）求导函数，利用极值点必为 f（ x）0 的根，求出 a 的值，可得斜率，第 17 页 共 20 页利用点斜式写出方程即可 （ II）由题意得 u（ x）2 x28 x+a0 在（0，+）上有两个不等正根，可得 a 的范围，利用根与系数的关系将 中的 a， 都用 表示，构造函数，对m 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出【详解】（） 由已知 知 ，点 ，所以所求直线方程为 （） 定义域为 ，令 ，由 有两个极值点得 有两个不等的正根， 所以，所以 由 知不等式等价于， 即 时 ， 时令
21、 ，当 时， ，所以 在 上单调递增，又 ，所以 时， ； 时，所以 ，不等式 不成立当 时,令(i)方程 的 即 时 所以 在 上单调递减，又 ，当 时， ，不等式 成立第 18 页 共 20 页当 时， ，不等式 成立所以 时不等式 成立(ii)当 即 时， 对称轴 开口向下且，令 则 在 上单调递增，又 ， ， 时不等式 不成立，综上所述，则【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点 为极点， 轴
22、正半轴为极轴建立极坐标系， 点的极坐标为 ，斜率为 的直线 经过点 .（I）求曲线 的普通方程和直线 的参数方程；（II ）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求线段 的长.【答案】 （）曲线 C 的普通方程为 ，直线 的参数方程为（ 为参数） （）【解析】 （）根据 sin2+cos 21 消去曲线 C 的参数 可得普通方程；根据直线过的定点及斜率写出直线的参数方程；（）将直线的参数方程与曲线 的普通方程联立，得到关于 t 的一元二次方程，结合参数 t 的意义得到 ，利用根与系数的关系可得结果.【详解】（）曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)，普通方程为直线 经过点 ，斜率为 ，直线 的参数方
23、程为 （ 为参数） （）将 （ 为参数）代入 ，化简整理得：，第 19 页 共 20 页设 是方程的两根，则 ，则 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、直线的参数方程的形式，考查了直线的参数方程的应用，属于中档题23 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 .（I）求函数 的定义域 ；（II ）证明：当 时， .【答案】 （） （）见证明【解析】 （）利用真数大于 0，列出不等式，讨论 x 的范围，去掉绝对值符号解不等式；（）法一：将要证的不等式两边同时平方作差，根据条件判断差的正负即可.法二：由题意知 ， ，则 ，化简可得 ，开方即证.【详解】（）由 或 或或 或 所以函数 的定义域 为 （）法一：因为 ，所以 ， 故 ，即所以 法二：当 时， ， ，即 ， 【点睛】本题主要考查绝对值的意义及绝对值不等式的解法，考查了综合法证明不等式的方法，第 20 页 共 20 页属于中档题
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