1、第二章 2.2 椭圆,2.2.2 椭圆的简单几何性质(二),学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 点与椭圆的位置关系,答案,思考2,答案,梳理,知识点二 直线与椭圆的位置关系,思考1,直线与椭圆有几种位置关系？,有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.,答案,思考2,答案,梳理,(1)判断直线和椭圆位置关系的方法 将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若0，则直线和椭圆 ；若0，则直线和椭圆 ；若0.,题型探究,类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断,
2、命题角度1 点与椭圆位置关系的判断,答案,解析,引申探究 若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？,答案,解析,处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.,反思与感悟,A.点(3，2)不在椭圆上 B.点(3，2)不在椭圆上 C.点(3，2)在椭圆上 D.以上都不正确,答案,解析,A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.,答案,解析,命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断,解答,直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程
3、(1)0直线与椭圆相交有两个公共点. (2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点. (3)0直线与椭圆相离无公共点.,反思与感悟,A.1 B.1或2 C.2 D.0,所以点(3，1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.,答案,解析,答案,解析,类型二 弦长及中点问题,解答,方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y1k(x2). 将其代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，又M为线段AB的中点，故所求直线的方程为x2y40.,方
4、法二 点差法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2. M(2，1)为线段AB的中点， x1x24，y1y22. 又A，B两点在椭圆上，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.故所求直线的方程为x2y40.,方法三 对称点法(或共线法) 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)， 由于点M(2，1)为线段AB的中点， 则另一个交点为B(4x，2y). A，B两点都在椭圆上，得x2y40. 即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40.,引申探究 在本例中求弦AB的长.,由上例得直线AB方程为
5、x2y40.x(x4)0，得x0或x4， 得两交点坐标A(0，2)，B(4，0)，,解答,直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.,反思与感悟,解答,若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x20，x1x218.,(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.,解答,方法一 设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4).(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.由于AB的中点恰好为P(4，2)
6、，,由于P(4，2)是AB的中点，x1x28，y1y24，,类型三 椭圆中的最值(或范围)问题,例4 已知椭圆4x2y21及直线yxm. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；,解答,(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.,设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知：5x22mxm210，所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.,解答,求最值问题的基本策略 (1)求解形如|PA|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|PB|取得最值. (2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定
7、要注意自变量的取值范围. (3)求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决. (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.,反思与感悟,解答,知点M在以A(3，0)为圆心， 1为半径的圆上运动，PMAM，即PM为A的切线，连接PA(如图)，,当堂训练,2,3,4,5,1,答案,解析,C.2a2 D.1a1,A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交,(24)24532640， 直线与椭圆相离.,答案,解析,2,3,4,5,1,3.已知以F1(2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x y40有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_.,2,3,4,5,1,答案
8、,解析,2,3,4,5,1,(2，2),直线ykxb恒过定点(0，b)，2b2.,答案,解析,2,3,4,5,1,解答,设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，,2,3,4,5,1,化简得k4k220， 所以k21，所以k1. 所以所求直线l的方程是yx1或yx1.,2,3,4,5,1,规律与方法,1.直线与椭圆相交弦长的有关问题 (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.,(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.,2.解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)， 则另一交点为B(2x0x，2y0y)，,两式作差即得所求直线方程. 特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.,
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