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    人教A版高中数学选修2-1课件:2.3.1 双曲线及其标准方程

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    人教A版高中数学选修2-1课件:2.3.1 双曲线及其标准方程

    1、第二章 2.3 双曲线,2.3.1 双曲线及其标准方程,学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 双曲线的定义,思考,若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线上的点应满足怎样的几何条件?,如图,曲线上的点满足条件:|MF1|MF2|常数; 如果改变一下笔尖位置,使|MF2|MF1|常数, 可得到另一条曲线.,答案,梳理

    2、,(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的差的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的 ; (2)关于“小于|F1F2|”:若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的 (包括端点);若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹不存在. (3)若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的 . (4)若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是 .,线段F1F2的中垂线,绝对值,这两个定点,焦距,两条射线,一支,知识点二 双曲线的标准方程,思考1,双

    3、曲线的标准方程的推导过程是什么?,答案,(1)建系:以直线F1F2为x轴,F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系. (2)设点:设M(x,y)是双曲线上任意一点,且双曲线的焦点坐标为F1(c,0),F2(c,0). (3)列式:由|MF1|MF2|2a,(4)化简:移项,平方后可得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2).,(5)检验:从上述过程可以看到,双曲线上任意一点的坐标都满足方程;以方程的解(x,y)为坐标的点到双曲线两个焦点(c,0),(c,0)的距离之差的绝对值为2a,即以方程的解为坐标的点都在双曲线上,这样,就把方程叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略),思考2,双曲线中a,b,

    4、c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同?,双曲线标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2c2a2,即c2a2b2,其中ca,cb,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2a2c2,即a2b2c2,其中ab0,ac,c与b大小不确定.,答案,梳理,(1)两种形式的标准方程,F1(c,0),F2(c,0),F1(0,c),F2(0,c),a2b2c2,(2)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在 上;若y2项的系数为正,那么焦点在 上. (3)双曲线的焦点位置不确定时可设

    5、其标准方程为Ax2By21(AB0). (4)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里的b2 与椭圆中的b2 相区别.,a2c2,x轴,y轴,c2a2,题型探究,类型一 双曲线的定义及应用,命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题,解答,得a3,b4,c5. 由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6, |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60, 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|, 所以|PF1|PF2|64,,引申探究 本例中若F1PF290,其他条件不变,求F1PF2的面积.,解答,由双曲线方程知a3,b4,

    6、c5, 由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6, 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36, 在RtF1PF2中,由勾股定理得 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100, 将代入得|PF1|PF2|32,,求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一: 根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a; 利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式; 通过配方,利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值;,反思与感悟,(2)方法二:,特别提醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用,特别是与|PF1

    7、|2|PF2|2,|PF1|PF2|间的关系.,解答,在MF1F2中,由余弦定理, 得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos . |F1F2|24c2,|MF1|2|MF2|2(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|4a22|MF1|MF2|, 式化为4c24a22|MF1|MF2|(1cos ),,当|PF1|PF2|3时,|PF1|PF2|30). 判断:若2a2c|F1F2|,满足定义,则动点M 的轨迹就是双曲线,且2c|F1F2|,b2c2a2,进而求出相应a,b,c. 根据F1,F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.,跟踪训练2 下列命题是真命题的是_.

    8、(将所有真命题的序号都填上) 已知定点F1(1,0),F2(1,0),则满足|PF1|PF2| 的点P的轨迹为双曲线; 已知定点F1(2,0),F2(2,0),则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为两条射线; 到定点F1(3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线; 若点P到定点F1(4,0),F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(3,1)的距离,则点P的轨迹为双曲线.,答案,解析, 6,故点P的轨迹不存在; 点M(1,2)到点N(3,1)的距离为 58,故点P的轨迹是以F1(4,0),F2(4,0)为焦点的双曲线.,类型二 待定系数法求双曲线的标

    9、准方程,解答,解答,a212,b28.,待定系数法求方程的步骤 (1)定型:即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴. (2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式, 若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2By21 (AB0).,反思与感悟,(3)计算:利用题中条件列出方程组,求出相关值. (4)结论:写出双曲线的标准方程.,跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程. (1)c ,经过点A(5,2),焦点在x轴上;,解得a25或a230(舍).,解答,设双曲线方程为mx2ny21(mn0),,解答,解答,类型三 双曲线定义的综合运用,证明,如图所示,设|PF1|r1,

    10、|PF2|r2,|F1F2|2c,则在PF1F2中,对于双曲线有|r2r1|2m,则在PF1F2中,对于椭圆有r1r22a,,(1)结合双曲线的定义,解决综合问题,诸如:实际应用题,焦点三角形问题等,要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等,利用化归思想,重点考查综合运用能力与求解能力. (2)双曲线与椭圆的比较如下表:,反思与感悟,利用双曲线与椭圆的关系,可类比椭圆得到双曲线的有关结论,或用类似方法解决双曲线的有关问题,以及双曲线与椭圆的综合问题.,解答,解答,类似的性质如下:其证明过程如下: 设P(x,y),M(m,n),则N(m,n),,故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.,

    11、当堂训练,2,3,4,5,1,由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6, 即|3|PF2|6,解得|PF2|9(负值舍去),故选B.,答案,解析,A.11 B.9 C.5 D.3,又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形,,答案,解析,2,3,4,5,1,3.已知圆C:x2y26x4y80,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则所得双曲线的标准方程为_.,令x0,得y24y80,方程无解,即该圆与y轴无交点. 令y0,得x26x80,解得x2或x4, 则符合条件的双曲线中a2,c4, b2c2a216412,且焦点在x轴上,,答案,解析,2,3,4,5,1,4.已知双曲线

    12、2x2y2k(k0)的焦距为6,则k的值为_.,2,3,4,5,1,6或6,答案,解析,由题易知,k0.综上,k6或k6.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,答案,解析,规律与方法,1.双曲线定义的理解 (1)定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左,右焦点, 若|MF1|MF2|2a,则点M在右支上; 若|MF2|MF1|2a,则点M在左支上. (2)双曲线定义的双向运用: 若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|),则动点M的轨迹为双曲线. 若动点M在双曲线上,则|MF1|MF2|2a.,2.求双曲线标准方程的步骤 (1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式. (2)定量:是指确定a2,b2的数值,常由条件列方程组求解. 特别提醒:若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式,为简单起见,常标明条件mn0.,


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