1、第二章 2.4 抛物线,2.4.1 抛物线及其标准方程,学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 抛物线的定义,思考1,平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？,连接两定点所得线段的垂直平分线.,答案,思考2,平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？,一条直线.,答案,思考3,到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？,抛物线.,答案,梳理,(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l
2、不经过点F)距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . (2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于11).,准线,相等,焦点,知识点二 抛物线的标准方程,思考,抛物线的标准方程有何特点？,(1)以方程的解为坐标的点在抛物线上； (2)对称轴为坐标轴； (3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离； (4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称； (5)焦点、准线到原点的距离都等于 .,答案,梳理,由于抛物线焦点位置不同，方程也就不
3、同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0). 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：,题型探究,类型一 抛物线的定义及理解,设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x4y120的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x4y120为准线的抛物线.,A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对,答案,解析,设动点Q(x，y)，则有xxy，yxy，又有x2y21，即(xy)22xy1，所以x22y1，故Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.,(2)已知点P(
4、x，y)在以原点为圆心的单位圆x2y21上运动，则点Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是_.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答),答案,解析,抛物线,抛物线的判断方法 (1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离. (2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.,反思与感悟,跟踪训练1 平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.,解答,方法一 设点P的坐标为(x，y)，两边平方并化简得y22x2|x|.,方法二 由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1， 由于点F(1，0)到y轴的距离
5、为1， 故当x0)，抛物线的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x2.,跟踪训练3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.,解答,类型三 抛物线在实际生活中的应用,例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？,解答,反思与感悟,涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.,跟踪训练4 喷灌的喷头装在直立管柱O
6、A的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？,解答,如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)， 因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以管柱OA的长为1.8 m.,当堂训练,答案,解析,A.y1 B.y2 C.x1 D.x2,2,3,4,5,1,2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为 A.4 B.2 C.4或4 D.12或2,由题可设抛物
7、线的标准方程为x22py(p0)，由定义知点P到准线的距 离为4，故 24，p4，x28y.将点P的坐标代入x28y， 得m4.,答案,解析,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上 的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 1，p2.,3.若抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.,2,答案,解析,4.若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.,2,3,4,5,1,答案,解析,5.已知M为抛物线y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2，3)，则|MN|MF|的最小值为_.,答案,解析,2,3,4,5,1,规律与方法,3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.,
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