1、1.3.3 函数的最大(小)值与导数,第一章 1.3 导数在研究函数中的应用,学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 函数的最大(小)值与导数,如图为yf(x)，xa，b的图象.,思考1,答案,答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.,思考2,结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,答案 存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)
2、.,答案,思考3,函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？,答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.,思考4,怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？,答案 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.,答案,梳理,(1)函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲 线，那么它必有最大值和最小值. (2)一般地，求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下： 求函数yf(x)在(a，b)内的 ； 将函数yf(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .,连续不断,极值,
3、各极值,端点,最大值,最小值,题型探究,类型一 求函数的最值,命题角度1 不含参数的函数求最值,例1 已知函数f(x)x33x，xR. (1)求f(x)的单调区间；,解答,解 f(x)3x233(x1)(x1)， 当x1时，f(x)0； 当1x1时，f(x)0， 所以f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)， 单调递减区间为(1,1).,解答,求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.,反思与感悟,答案,解析,解析 f(x)2xs
4、in x， 令f(x)0，即2xsin x0，得x0，,解 f(x)3x22ax3， 由题意知f(3)0，即276a30，解得a5， f(x)3x210x3. 令f(x)0，即3x210x30，,(2)已知函数f(x)x3ax23x，若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a时的最值.,解答,f(3)9，f(1)1，f(5)15， 当x1,5时，f(x)的最小值为9，最大值为15.,命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值.,解答,解 f(x)3x23a3(x2a). 若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减， 所以当x0时，f(x)
5、有最大值f(0)0；,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,当 1，即a1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上单调递增， 当x1时，f(x)有最大值，f(1)3a1. 综上，当a0，x0时，f(x)有最大值0； 当0a0，b2，当x1,1时，求f(x)的最小值.,解答,解 f(x)3ax23x3x(ax1).,类型二 由函数的最值求参数,例3 已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为 29，求a，b的值.,解答,解 由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾. 求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令f(x)0，得x10，x24(舍去).
6、当a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3. 又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a329，解得a2.,当af(1)， f(2)16a293，解得a2. 综上可得，a2，b3或a2，b29.,已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.,反思与感悟,跟踪训练3 (1)若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实
7、数a的取值范围是,答案,解析,解析 由f(x)33x20，得x1. 当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,又当x(1，)时，f(x)单调递减， 且当x2时，f(x)2.a2. 综上，10，求a的值.,解答,解 f(x)的定义域为(a，)，,由f(x)0，解得x1aa. 当a1a时，f(x)0，f(x)在(1a，)上单调递增. 因此，f(x)在x1a处取得最小值， 由题意知f(1a)1a0，故a1.,类型三 与最值有关的恒成立问题,例4 已知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，求a的取值范围.,解 由2xln xx2ax3，,当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增.
8、 h(x)minh(1)4. ah(x)min4.,解答,反思与感悟,分离参数求解不等式恒成立问题的步骤,跟踪训练4 设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值.,解答,解 由题设知f(x)的定义域为(0，)，,令g(x)0，得x1. 当x(0,1)时，g(x)0， 故(1，)是g(x)的单调递增区间. 因此，x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.,(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立.,解答,解 g(a)g(x)0成立， 即ln a0成立. 由(1)知，g(x)的最小值为1， 所以ln
9、 a1，解得0ae.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.函数f(x)x33x(x0，f(x)单调递增； 当x(1,1)时，f(x)0时，x0； 当f(x)0时，2x0，解得x2或x2； 令f(x)0，解得2x2. 故函数在2,2上是减函数，在3，2)，(2,3上是增函数， 所以函数在x2时取到最小值f(2)82488， 在x2时取到最大值f(2)824824. 即M24，m8， 所以Mm32.故选C.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2,2上的最大值.,解答,1,2,3,4,5,解 f(x)6x212x6x(x2). 由f(x)0，得x0或x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以当x2时，f(x)min40a37，所以a3. 所以当x0时，f(x)取到最大值3.,规律与方法,1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值. 2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.,本课结束,
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