1、1.2.2 组合(二),第一章 1.2 排列与组合,学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 组合的特点,思考,组合的特征有哪些？,答案,答案 组合取出的元素是无序的.,(1)组合的特点是只取不排 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求. (3)相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合.,梳理,题型探究,例1
2、 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名；,解答,类型一 简单的组合应用题,(2)至少有1名女运动员；,解 方法一 (直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.,解答,(3)既要有队长，又要有女运动员.,解答,(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关. (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或
3、遗漏.,反思与感悟,解 从中任取5人是组合问题，共有 792(种)不同的选法.,跟踪训练1 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人；,解答,解 甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有 36(种)不同的选法.,(2)甲、乙、丙三人必须参加；,解 甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有 126(种)不同的选法.,(3)甲、乙、丙三人不能参加；,(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.,解答,例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C6，线
4、段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.,类型二 与几何有关的组合应用题,解答,(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？,(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？,解答,(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法. (2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决.,反思与感悟,跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为 A.205 B.110
5、C.204 D.200,解析,答案,命题角度1 不同元素分组、分配问题 例3 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？ (1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；,类型三 分组、分配问题,解答,(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；,解答,解 由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题.,(3)分成三组，每组都是2本；,解答,但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，,(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本.,解答,分组、分配问题的求解策略 (1
6、)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种 完全均匀分组，每组的元素个数均相等. 部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！. 完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.,反思与感悟,解析 5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种.,根据分类加法计数原理共有4272114(种).,跟踪训练3 某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则不同的安排方法的种数为 A.24 B.48 C.96 D.114,解析,答
7、案,命题角度2 相同元素分配问题 例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空；,解答,解 先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有 10(种).,(2)恰有一个空盒子；,解答,解 恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，,(3)恰有两个空盒子.,解答,解 恰有两个空盒子，插板分两步进行.,这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，,相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，
8、便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有 种方法.可描述为n1个空中插入m1块板.,反思与感悟,跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A.4种 B.10种 C.18种 D.20种,解析,答案,解析 由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析. 又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选
9、取. 第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册.,第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，,当堂训练,1.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有 A.36种 B.48种 C.96种 D.192种,2,3,4,5,1,解析,答案,2.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有,2,3,4,5,1,解析,答案,3.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜
10、和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有 A.210种 B.420种 C.56种 D.22种,2,3,4,5,1,解析,解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，,答案,4.直角坐标平面xOy上，平行直线xn(n0,1,2，5)与平行直线yn(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有 A.25个 B.36个 C.100个 D.225个,2,3,4,5,1,解析,解析 在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形， 所以矩形总数为 1515225.,答案,5.要从12人中选出5人参加一次活动，其
11、中A，B，C三人至多两人入选，则有_种不同选法.,2,3,4,5,1,答案,解析,756,2,3,4,5,1,解析 方法一 可分三类：,规律与方法,1.无限制条件的组合应用题.其解题步骤为： (1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答. 2.有限制条件的组合应用题： (1)“含”与“不含”问题： 这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.,(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决. (3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.,本课结束,
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