1、1.2.2 组合(一),第一章 1.2 排列与组合,学习目标 1.理解组合及组合数的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 组合的定义,思考,从3,5,7,11中任取两个数相除; 从3,5,7,11中任取两个数相乘. 以上两个问题中哪个是排列?与有何不同特点?,答案,答案 是排列,中选取的两个数是有序的,中选取的两个数无需排列.,一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.,梳理,合成一组,思考1,知识点二 组合数与组合数公式,可以得到多少个不同的商?
2、,答案,答案 A44312.,从3,5,7,11中任取两个数相除,,2,思考2,如何用分步乘法计数原理求商的个数?,答案,答案 第1步,从这四个数中任取两个数,有 种方法;,思考3,你能得出C4的计算公式吗?,答案,2,梳理,组合数及组合数公式,所有不,同组合的个数,_,_,_,_,1,m,_,1,题型探究,例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题. (1)8个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次?,解 每两人握手一次,无顺序之分,是组合问题.,解答,类型一 组合概念的理解,(2)8个朋友相互各写一封信,一共写了多少封信?,解 每两人相互写一封信,是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区
3、别的.,(3)从1,2,3,9这九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?,解 是排列问题,因为取出3个数字后,如果改变这3个数字的顺序,便会得到不同的三位数.,解答,(4)从1,2,3,9这九个数字中任取3个,组成一个集合,这样的集合有多少个?,解 是组合问题,因为取出3个数字后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其构成的集合都不变.,判断一个问题是否是组合问题的流程,反思与感悟,跟踪训练1 给出下列问题: (1)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法? (2)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法? (3)a,
4、b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场? (4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果? 在上述问题中,_是组合问题,_是排列问题.,答案,解析,(1)(3) (2)(4),解析 (1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题. (2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题. (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. (4)冠亚军是有顺序的,是排列问题.,例2 从5个不同的元素a,b,c,d,e中取出2个,列出所有的组合为_.,类型二 组合的列举问题,答案,解析,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,d
5、e,解析 要想列出所有组合,做到不重不漏,先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来.如图所示.,引申探究 若将本例中的a,b,c,d,e看作铁路线上的5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价?,解 因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的,故是排列问题,有 20(种); 但票价与顺序无关,“a站到b站”与“b站到a站”是同一种票价,故是组合问题, 因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的,但票价一样, 所以票价的种数是车票种数的一半,故共有 2010(种)不同的票价.,解答,借助“字典排序法”列出一个具体问题的组合,直观、简洁,而且避免了重
6、复或遗漏,但需注意:若用“树状图法”,当前面的元素写完后,后面不能再出现该元素,这是与排列问题的一个不同之处.,反思与感悟,解 所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.,跟踪训练2 写出从A,B,C,D,E 5个元素中,依次取3个元素的所有组合.,解答,命题角度1 有关组合数的计算与证明,类型三 组合数公式及性质的应用,解答,2102100.,证明,反思与感悟,答案,解析,5 150,解析,答案,命题角度2 含组合数的方程或不等式,解答,即m223m420,解得m2或21. 0m5,m2,,解答,又nN*,该不等式的解集为6,7,8,9.,(1
7、)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误,注意不要忽略nN*. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质,求解时,要注意由 中的mN*,nN*,且nm确定m、n的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意.,反思与感悟,解答,所以(x3)(x6)54285. 所以x11或x2(舍去负根). 经检验符合题意,所以方程的解为x11.,当堂训练,解析 与顺序有关,是排列问题,均与顺序无关,是组合问题,故选C.,1.给出下列问题: 从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法? 有4张电影票,要在7人中选出4人去观看,有多
8、少种不同的选法? 某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种? 其中组合问题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,2,3,4,5,1,解析,答案,2.集合Mx|x 且nN,集合Q1,2,3,4,则下列结论正确 的是 A.MQ0,1,2,3,4 B.QM C.MQ D.MQ1,4,2,3,4,5,1,解析,答案,所以M1,4,6. 故MQ1,4.,3.满足方程 的x值为 A.1,3,5,7 B.1,3 C.1,3,5 D.3,5,2,3,4,5,1,解析,解析 依题意,有x2x5x5或x2x5x516, 解得x1或5; x7或x3. 经检验知,只有x1或x3符合题
9、意.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 由题意知3n12,且nN*,,解得n7.5,n3,4,5,6,7.,4.不等式 的解为 A.3n7 B.3n6 C.n3,4,5 D.n3,4,5,6,7,答案,5.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动,若每天安排3人,则不同的安排方案共有_种.(用数字作答),2,3,4,5,1,答案,解析,解析 安排方案分为两步完成:从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动,有 种方法; 再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动,有 种方法. 故不同的安排方案共有 547140(种).,140,规律与方法,1.排列与组合的联系与区别 (1)联系:二者都是从n个不同的元素中取m(mn)个元素. (2)区别:排列问题中元素有序,组合问题中元素无序. 2.关于组合数的计算,本课结束,