1、章末复习课,第一章 计数原理,学习目标 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题. 2.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题. 3.能利用计数原理证明二项式定理，掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完
2、成这件事共有N 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N种不同的方法.,m1m2mn,m1m2mn,3.排列数与组合数公式及性质,(nm1),1,；,m,题型探究,命题角度1 分类讨论思想 例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？,解答,类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用,解 方法一 设A，B代表2位老师傅.,所以共有7510010
3、185(种).,所以共有3512030185(种).,解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完备(保证不遗漏).,反思与感悟,解析 1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.,跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有_个.(用数字作答),60,同时有1和3时，把3排在1的前面，,答案,解析,命题角度2 “正难则反”思想 例2 设集合S1,2,3,4,5,6,7,8,
4、9，集合Aa1，a2，a3是S的子集，且a1，a2，a3满足a1a26包含的情况较少，当a39时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决. 集合S的含有三个元素的子集的个数为 84. 在这些含有三个元素的子集中能满足a16的集合只有1,2,9， 故满足题意的集合A的个数为84183.,对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考.,反思与感悟,跟踪训练2 由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有_种.,答案,解析,30,不同的参赛方案共有36630(种).,例3
5、 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？,解 第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有 5 040(种)方法； 第二步再松绑，给4个节目排序，有 24(种)方法. 根据分步乘法计数原理，一共有5 04024120 960(种)安排顺序.,类型二 排列与组合的综合应用,解答,(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？,解 第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，一共有 720(种)方法. 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即中
6、“”的位置)这样相当于7个“”选4个来排，一共有 840(种)方法. 根据分步乘法计数原理，一共有720840 604 800(种)安排顺序.,解答,(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？,解 若所有节目没有顺序要求，全部排列， 则有 种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除， 所以节目演出的方式有 132(种)排列.,解答,排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合.对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列.对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不
7、重、不漏.在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净.,反思与感悟,跟踪训练3 设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为 A.60 B.90 C.120 D.130,解析,答案,解析 由“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M0，N1,1.,命题角度1 二项展开式的特定项问题 例4 已知在 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是563. (1)求展开式中的所有有理项；,类型三 二项式定理及其应用,解答,展开式是常数项，于是有理
8、项为T1x5和T713 440.,(2)求展开式中系数绝对值最大的项；,解答,解 设第k1项系数的绝对值最大，则,所以k7，当k7时， ， 又因为当k0时，T1x5， 当k10时，T11(2)10 ， 所以系数的绝对值最大的项为,解答,(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项. (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数. (4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值
9、代入. (5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质.,反思与感悟,跟踪训练4 已知二项式 展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍. (1)求n；,解答,解 令x1得二项式 展开式中各项系数之和为(51)n4n，各项二项式系数之和为2n， 由题意得，4n162n，所以2n16，n4.,(2)求展开式中二项式系数最大的项；,解答,展开式中二项式系数最大的项是第3项：,(3)求展开式中所有x的有理项.,解答,命题角度2 二项展开式的“赋值”问题 例5 若(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10. (1)求a2；,解答,解 (x23x2)5(x1)5(x2)5， a
10、2是展开式中x2的系数，,(2)求a1a2a10；,解答,解 令x1，代入已知式可得，a0a1a2a100， 而令x0，得a032，a1a2a1032.,(3)求(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)2.,解答,解 令x1可得， (a0a2a4a10)(a1a3a7a9)65， 再由(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)0， 把这两个等式相乘可得， (a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)26500.,与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边
11、的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果.,反思与感悟,跟踪训练5 若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3a11(x2)11，则a1a2a3a11的值为_.,解析 令x2，得a0(221)(23)95， 令x3，则a0a1a2a3a11(321)(33)90， 所以a1a2a3a11a05.,5,答案,解析,当堂训练,1.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况
12、有 A.24种 B.36种 C.48种 D.60种,2,3,4,5,1,解析,解析 分两类： 第一类：有3名被录用，有 24(种)， 第二类，4名都被录用，则有一家企业录用2名， 有 36(种). 根据分类加法计数原理得，共有243660(种).,答案,2.已知关于x的二项式 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为 A.1 B.1 C.2 D.2,2,3,4,5,1,解析,解析 由条件知2n32，即n5，,答案,3.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A.192种 B.216种 C.240种 D.288种,2,3,4,5,1,解析,解析
13、 当甲在最左端时，有 120(种)排法； 当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端， 有 42496(种)排法，共计12096216(种)排法.故选B.,答案,4.若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 对(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12， 令x1得(a0a2a10a12)(a1a3a9a11)36. 令x1得(a0a2a10a12)(a1a3a9a11)1. ,364,令x0得a01，,2,3,4,5,1,5.航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，
14、其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为_.(用数字作答),答案,解析,解析 由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择. 因为最后两项实验的顺序确定，所以共有 300(种)不同的编排方法.,300,规律与方法,1.排列与组合 (1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的. (2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑： 元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素. 位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置. (3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配.,2.二项式定理 (1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式.,(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法.,本课结束,
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