1、第2章 2.2 函数的简单性质,2.2.2 函数的奇偶性,1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 函数奇偶性的概念,答案,(1)一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有f(x) ，那么称函数yf(x)是偶函数.如果对于任意的xA，都有f(x) ，那么称函数yf(x)是奇函数. (2)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有 .,f(x),
2、f(x),奇偶性,答案,思考 为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称？,答 由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则x也必然在定义域中，因此函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在x轴上所表示的区间关于原点对称.换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性，例如函数yx2在区间(，)上是偶函数，但在区间1,2上却无奇偶性可言了.,(1)若一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. (2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称
3、图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.,知识点二 奇函数、偶函数的图象特征,(1)若函数f(x)是奇函数，且0在定义域内，则必有f(0)0. (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反. (3)一次函数f(x)kxb(k0)为奇函数b0；二次函数f(x)ax2bxc(a0)为偶函数b0；常数函数f(x)c(c为常数)为偶函数.,知识点三 奇偶性应用中常用结论,答案,思考 存在既是奇函数又是偶函数的函数吗？,返回,答 存在，如f(x)0既是奇函数又是偶函数，且这样的函数有无穷多个，实际上，函数f(x)0，xD，只要定义域D
4、关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.,例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)2|x|；,题型探究 重点突破,题型一 函数奇偶性的判断,解 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(x)2|x|2|x|f(x)， f(x)为偶函数.,解析答案,解 函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0， 又f(x)f(x)，f(x)f(x)， f(x)既是奇函数又是偶函数.,解 函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称， f(x)是非奇非偶函数.,解析答案,解 f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称. 当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x). 综上可
5、知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数.,解析答案,反思与感悟,判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明 f(x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.,反思与感悟,解析答案,解析 两项，函数均为偶函数， 项中函数为非奇非偶函数， 而项中
6、函数为奇函数.,解析答案,(2)若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是_函数.(判断奇偶性),奇,解析 f(x)ax2bxc是偶函数， f(x)f(x)，得b0.g(x)ax3cx. g(x)a(x)3c(x)g(x)， g(x)为奇函数.,例2 已知f(x)ax5bx3cx8，且f(d)10，求f(d).,题型二 利用函数的奇偶性求值,解析答案,反思与感悟,解 方法一 f(d)ad5bd3cd8， f(d)a(d)5b(d)3c(d)8ad5bd3cd8， 得f(d)f(d)16， f(d)10，f(d)161026. 方法二 设g(x)ax5bx3cx，则g(
7、x)为奇函数， 由题意可得f(d)g(d)810，g(d)18. 又f(d)g(d)8，且g(x)为奇函数， g(d)g(d)， f(d)g(d)818826.,反思与感悟,解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数)g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出g(d).也可以通过两式相加(或相减)达到正负抵消，从而使问题得解.,反思与感悟,跟踪训练2 函数f(x)x5ax3bx2，且f(3)1，则f(3)_.,解析答案,解析 令g(x)x5ax3bx，易知g(x)为奇函数，从而g(3)g(3).,3,又因为f(x)g(x)2，f(3)1，
8、,所以g(3)1，所以g(3)1，所以f(3)g(3)2123.,例3 已知函数f(x)(xR)是奇函数，且当x0时，f(x)2x1，求函数f(x)的解析式.,题型三 利用奇偶性求函数解析式,解析答案,反思与感悟,解 当x0，x0，,f(x)2(x)12x1.,又f(x)是奇函数，f(x)f(x)， f(x)2x1.又f(x)(xR)是奇函数， f(0)f(0)，即f(0)0.,(1)本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0. (2)利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间
9、的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.,反思与感悟,跟踪训练3 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x0时，f(x)x22x，则函数f(x)在R上的解析式是_.(填序号) f(x)x(x2)； f(x)|x|(x2)； f(x)x(|x|2)； f(x)|x|(|x|2).,解析答案,解析 f(x)在R上是偶函数，且x0时，f(x)x22x，,当x0时，x0，f(x)(x)22xx22x， 则f(x)f(x)x22xx(x2). 又当x0时，f(x)x22xx(x2)， 因此f(x)|x|(|x|2).,解析 利用奇函数的性质f(x)f(x)求解.,解析答
10、案,f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.,2,利用偶函数的性质f(x)f(x)f(|x|)避免讨论,解决思想方法,解析答案,例4 已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_.,解析 f(2)0，f(x1)0，f(x1)f(2)， 又f(x)是偶函数，且在0，)上单调递减， f(|x1|)f(2)， |x1|2， 2x12，1xf(2)转化得f(|x1|)f(2)，再由f(x)在0，)上单调递减即可脱去“f”，得到|x1|2.其优点在于避免了讨论.,反思与感悟,跟踪训练4 函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在0，)上是增函数，f(3)f(2a1)
11、，则a的取值范围是_.,解析 因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a1或a0时此函数为增函数，又该函数为奇函数.,1,2,3,4,5,2.若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.,解析 由f(x)(xa)(x4)得f(x)x2(a4)x4a， 若f(x)为偶函数， 则a40，即a4.,4,解析答案,1,2,3,4,5,3.设偶函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_.,解析 由于偶函数的图象关于y轴对称， 所以可根据对称性确定不等式f(x)0的解. 当x0,5时，f(x)0的解为2x5， 所以当x5,0时，f(x)
12、0的解为5x2. 所以f(x)0的解是5x2或2x5.,解析答案,x|5x2，或2x5,1,2,3,4,5,4.已知函数yf(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)xx2， 则f(2)_.,解析 因为当x0时，f(x)xx2， 所以f(2)2222. 又f(x)是奇函数，所以f(2)f(2)2.,解析答案,2,1,2,3,4,5,5.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，解析式为f(x)x2x，则当x0时，f(x)_.,解析答案,解析 设x0， f(x)(x)2xx2x. 又f(x)是定义域为R的偶函数， f(x)f(x)x2x， 当x0时，f(x)x2x.,x2x,课堂小结,1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：,返回,3.(1)若f(x)0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.,
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