1、1.2.1 平面的基本性质,第1章 1.2 点、线、面之间的位置关系,学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系. 2.掌握有关平面的三个公理及三个推论. 3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 平面的概念,思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？,答案 没有.平行四边形.,梳理 (1)平面的概念 广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念. (2)平面的画法,正方形的直观图,虚线,(3)平面的表示方法 平面通常用希腊字母，表示，也可以用平行四
2、边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面、平面AC等.,知识点二 点、线、面之间的位置关系,思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？,答案 点和直线，平面的位置关系可用数学符号“”或“”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “”或“”表示.,梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达,知识点三 平面的基本性质,思考1 直线l与平面有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面内？有两个公共点呢？,答案 前者不在，后者在.,思考2 观察图象，你能得出什么结论？,答案 不共线的三点可以确定一个平面.,梳理,一个,AB,经过这个公
3、共点,l,且Pl,不在同一,条直线上的 三点,外,相交,平行,思考辨析 判断正误 1.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( ) 2.空间不同三点确定一个平面.( ) 3.一条直线和一个点确定一个平面.( ),题型探究,例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.,类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示,解答,解 在(1)中，l，aA，aB. 在(2)中，l，a，b，alP，blP.,反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语
4、言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.,跟踪训练1 若点A在直线b上，b在平面内，则点A，直线b，平面之间的关系可以记作_.(填序号) Ab；Ab；Ab；Ab.,答案,类型二 点线共面,例2 如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.,证明,证明 因为PQa，所以PQ与a确定一个平面，所以直线a，点P.因为Pb，b，所以P. 又因为a，所以与重合，所以PQ.,引申探究 将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.,解答,解 已知：abc，laA，lbB，lcC. 求证：a，b，c和l共面. 证明：如图，ab， a与b确定一个平面. la
5、A，lbB，A，B. 又Al，Bl，l. bc，b与c确定一个平面， 同理l. 平面与都包含l和b，且blB， 由推论2知：经过两条相交直线有且只有一个平面， 平面与平面重合，a，b，c和l共面.,反思与感悟 证明多线共面的两种方法 (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.,证明,跟踪训练2 已知l1l2A，l2l3B，l1l3C，如图所示.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.,证明 方法一 (纳入平面法) l1l2A，l1和l2确定一个平面. l2l3B，Bl2. 又l2
6、，B.同理可证C. Bl3，Cl3，l3. 直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法二 (辅助平面法) l1l2A，l1和l2确定一个平面. l2l3B，l2，l3确定一个平面. Al2，l2，A.,Al2，l2，A. 同理可证B，B，C，C. 不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内， 平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.,命题角度1 点共线问题 例3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.,类型三 点共线、线共点问题,证明,证明 如图，连结A1B，CD1， 显然B平面A1BCD1， D1平面A1BCD
7、1， BD1平面A1BCD1. 同理BD1平面ABC1D1. 平面ABC1D1平面A1BCD1BD1. A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1. 又A1C平面A1BCD1， Q平面A1BCD1. Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即QBD1， B，Q，D1三点共线.,反思与感悟 证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.,跟踪训练3 已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.,证明,证明 方法一 AB
8、P， PAB，P平面. 又AB平面ABC，P平面ABC. 由公理2可知：点P在平面ABC与平面的交线上. 同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上. P，Q，R三点共线.,方法二 APARA， 直线AP与直线AR确定平面APR. 又ABP，ACR，平面APR平面PR. B平面APR，C平面APR，BC平面APR. QBC，Q平面APR. 又Q，QPR， P，Q，R三点共线.,命题角度2 线共点问题 例4 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.,证明,证明 如图，连结EF，D1C，A1B. E为AB的中点，F为AA
9、1的中点， EFA1B，且EF A1B. 又A1BD1C，且A1BD1C， EFD1C，且EF D1C， E，F，D1，C四点共面， D1F与CE相交，设交点为P.,又D1F平面A1D1DA， CE平面ABCD， P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点. 又平面A1D1DA平面ABCDDA， 根据公理2，可得PDA， 即CE，D1F，DA相交于一点.,反思与感悟 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.,跟踪训练4 已知
10、：平面，两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.,证明,证明 如图，l1，l2， l3. l1，l2， 且l1，l2不平行，l1与l2必相交. 设l1l2P， 则Pl1，Pl2， P()l3，l1，l2，l3相交于一点P.,达标检测,答案,解析,1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”为_.,1,2,3,4,5,Al，l,解析 点A在直线l上，Al， l在平面外，l.,答案,解析,2.平面，有公共点A，则，有_个公共点.,解析 由公理2可得.,1,2,3,4,5,无数,答案,3.下图中图形的画法正确的是_.(填序号),1,2,3,4,5,答
11、案,解析,4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是_.,1或3,1,2,3,4,5,解析 若三条直线两两相交，且不共点，则只能确定1个平面； 若三条直线两两相交，且共点，则可以确定1个或3个平面.,证明,1,2,3,4,5,5.如图，abA，acB，adF，bcC，cdD，bdE，求证：a，b，c，d共面.,1,2,3,4,5,证明 因为A，B，C三点不共线， 所以A，B，C三点确定一个平面，设为. 因为Aa，Ba，所以a， 因为Ab，Cb，所以b， 因为Bc，Cc，所以c， 所以a，b，c都在内. 因为Dc，Eb，所以D，E. 又因为Dd，Ed，所以d， 所以a，b，c，d共面.,1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚. 2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.,规律与方法,
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