1、第2课时 两平面垂直的判定,第1章 1.2.4 平面与平面的位置关系,学习目标 1.了解二面角及其平面角的概念，能确定二面角的平面角. 2.初步掌握面面垂直的定义及两个平面垂直的判定定理.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 二面角,思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？,答案 二面角.,思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？,答案 二面角的平面角.,梳理 (1)二面角的概念 定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的 所组成的图
2、形. 相关概念：()这条直线叫做二面角的 ；()每个半平面叫做二面角的 . 画法：记法：二面角 或 或 或PABQ.,两个半平面,棱,面,l,AB,PlQ,(2)二面角的平面角 定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个 面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面 角的平面角. 表示方法：若有()O l；()OA ，OB ； ()OA l，OB l，则二面角l的平面角是 .,AOB,知识点二 平面与平面垂直,思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅
3、锤线与地面什么关系？,答案 都是垂直.,梳理 两面垂直的定义及判定 (1)平面与平面垂直 定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是 ，那么就说这两个平面互相垂直. 画法：记作： .,直二面角,(2)判定定理,垂线,l,思考辨析 判断正误 1.若l，则过l有无数个平面与垂直.( ) 2.两垂直平面的二面角的平面角大小为90.( ),题型探究,例1 如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD平面ABCD.,类型一 面面垂直的判定,证明,证明 如图，连结AC，与BD交于点F，连结EF. 因为F为平行四边形ABCD的对角线AC与B
4、D的交点， 所以F为AC的中点. 又E为SA的中点，所以EF为SAC的中位线，所以EFSC. 又SC平面ABCD，所以EF平面ABCD. 又EF平面EBD， 所以平面EBD平面ABCD.,反思与感悟 (1)面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直. (2)面面垂直的定义也是证明面面垂直的基本方法，只需要证明两个平面构成的二面角为直二面角.,跟踪训练1 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，AC AA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1平面BDC.,证明,证明 由题设知BCCC
5、1，BCAC，CC1ACC， 所以BC平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1， 所以DC1BC. 由题设知A1DC1ADC45， 所以CDC190，即DC1DC. 又DCBCC，所以DC1平面BDC. 又DC1平面BDC1， 所以平面BDC1平面BDC.,类型二 与面面垂直有关的探索性问题,例2 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，PA底面ABCD，PA .在CD上确定一点E，使得平面PBE平面PAB.,解答,解 取CD的中点E，连结PE，BE，BD. 由底面ABCD是菱形且BCD60知， BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以BECD. 又AB
6、CD，所以BEAB. 又因为PA平面ABCD， BE平面ABCD，所以PABE. 而PAABA， 所以BE平面PAB.又BE平面PBE， 所以平面PBE平面PAB. 所以当E为CD的中点时，平面PBE平面PAB.,反思与感悟 存在性问题是将传统意义上指定线线、线面、面面位置关系的证明，变成开放性和探究性问题.需要先找到相应的点、线、面之间平行与垂直关系再进行证明，但也可能不存在对应的点、线、面平行与垂直关系.,跟踪训练2 如图，在直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折起，使得DEEC. (1)求证：AE平面CDE；,证明,证明 由已知得
7、DEAE，AEEC. DEECE，DE，EC平面DCE， AE平面CDE.,(2)求证：FG平面BCD；,证明,证明 取AB的中点H，连结GH，FH， 由已知得ABCE为矩形，且G，F分别为AD，EC的中点， GHBD，FHBC. GH平面BCD，BD平面BCD， GH平面BCD. 同理，FH平面BCD， 又GHFHH， 平面FHG平面BCD， GF平面FHG， GF平面BCD.,(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由.,解答,解 取线段AE的中点R， DC的中点M，DB的中点S， 连结MS，RS，BR，DR，EM.MSRE，MSRE， 四边形MERS是平行四边形，
8、RSME.,在DEC中，EDEC，M是CD的中点， EMDC. 由(1)知AE平面CDE，AEBC， BC平面CDE. EM平面CDE，EMBC. BCCDC，EM平面BCD. EMRS，RS平面BCD. RS平面BDR， 平面BDR平面DCB.,达标检测,答案,1.下列说法中正确的是_.(填序号) 若平面和平面分别过两条互相垂直的直线，则； 若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则； 若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则； 若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.,1,2,3,4,5,解析 中，与还可能平行或相交且不垂直，所以不正确； 因为由平面内的一条直线垂直于
9、平面内的两条相交直线，得，所以不正确，正确.,解析,答案,解析,2.已知PA矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互 相垂直的平面有_对.,解析 DAAB，DAPA，ABPAA， DA平面PAB，同理BC平面PAB. 又AB平面PAD， DC平面PAD. 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面PAB， 平面PBC平面PAB，平面PAB平面ABCD， 平面PDC平面PAD，共5对.,1,2,3,4,5,5,答案,3.如图所示，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是_.(填序号) 平面ABC平面ABD； 平面ABC平面BCD； 平面ABC平面BDE，且平面
10、ACD平面BDE； 平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE.,1,2,3,4,5,解析 由ABCB，ADCD，E为AC的中点知，ACDE，ACBE. 又DEBEE，从而AC平面BDE，故正确.,解析,答案,解析,4.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题： 三棱锥AD1PC的体积不变； A1P平面ACD1； DPBC1； 平面PDB1平面ACD1. 其中正确的命题序号是_.,1,2,3,4,5,解析 连结BD交AC于点O，连结DC1交D1C于点O1，连结OO1， 则OO1BC1，所以BC1平面AD1C， 动点P到平面AD1C的距离不变， 所以三棱锥PAD
11、1C的体积不变. 又因为 ，所以正确； 因为平面A1C1B平面AD1C，A1P平面A1C1B， 所以A1P平面ACD1，正确； 由于当点P在B点时，DB不垂直于BC1，即DP不垂直BC1，故不正确； 由于DB1D1C，DB1AD1，D1CAD1D1， 所以DB1平面AD1C.又因为DB1平面PDB1， 所以平面PDB1平面ACD1，正确.,1,2,3,4,5,证明,1,2,3,4,5,5.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形， PA底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点. 求证： (1)EF平面PCD；,证明 四边形ABCD是正方形，E是BD的中点. 又F是PB的中点，EFPD. 又EF平面PCD，PD平面PCD， EF平面PCD.,证明,1,2,3,4,5,(2)平面PBD平面PAC.,证明 四边形ABCD是正方形，BDAC. PA平面ABC，BD平面ABC，PABD. 又PAACA，PA，AC平面PAC， BD平面PAC. 又BD平面PBD， 平面PBD平面PAC.,证明两个平面垂直的主要途径 (1)利用面面垂直的定义. (2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.,规律与方法,
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