1、第3课时 两平面垂直的性质,第1章 1.2.4 平面与平面的位置关系,学习目标 1.掌握平面与平面垂直的性质定理. 2.能运用性质定理解决一些简单的问题. 3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 平面与平面垂直的性质定理,思考 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？,答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画的直线必与地面垂直.,梳理,一个平面内,交线,垂直,a,al,思考辨析 判断正误 1.若平面平面，任取直线l，则必有l.
2、( ) 2.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.( ),题型探究,例1 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：(1)BG平面PAD；,类型一 平面与平面垂直的性质定理,证明,证明 由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点， PGAD. 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PG平面ABCD，PGBG. 又四边形ABCD是菱形且DAB60， ABD是正三角形，BGAD. 又ADPGG，BG平面PAD.,(2)ADP
3、B.,证明,证明 由(1)可知BGAD，PGAD，BGPGG， AD平面PBG.又PB平面PBG，ADPB.,反思与感悟 当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系.因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线.,跟踪训练1 如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.,证明,证明 如图，在平面PAB内， 作ADPB于点D. 平面PAB平面PBC， 且平面PAB平面PBCPB， AD平面PBC. 又BC平面PBC，ADBC. 又PA平面ABC， BC平面ABC，PABC.
4、又PAADA， BC平面PAB. 又AB平面PAB，BCAB.,类型二 立体几何中的折叠问题,例2 如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为CD的中点.将ADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，得到几何体DABCE.求证：BE平面ADE.,证明,证明 在ADE中，AE2AD2DE212122， 在BCE中，BE2BC2CE212122， 故在AEB中，AE2BE2AB2， BEAE. 又平面ADE平面ABCE， 且平面ADE平面ABCEAE， BE平面ABCE，BE平面ADE.,反思与感悟 (1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内
5、的两个元素之间关系改变. (2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性.,跟踪训练2 如图所示，在平面四边形ABCD中，ABBCCDa，B90，C135.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图所示.求证：平面ABD平面BCD.,证明,证明 ACD1354590，CDAC. 由已知得二面角BACD是直二面角， 过B作BOAC，垂足为O， 由ABBC知，O为AC的中点， 作OEAC交AD于点E， 则BOE90，BOOE. 而OEACO， BO平面ACD. CD平面ACD，BOCD.,又ACBOO，CD平面ABC， AB平面ABC， ABCD.由已知ABC90， ABBC.而BCCDC，AB
6、平面BCD. 又AB平面ABD， 平面ABD平面BCD.,类型三 线线、线面、面面垂直的综合应用,例3 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点. 求证：(1)PA底面ABCD；,证明,证明 因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA底面ABCD.,(2)BE平面PAD；,证明,证明 因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点， 所以ABDE，且ABDE， 所以四边形ABED为平行四边形， 所以BEAD. 又因为BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE平面PAD.,(3)平面BEF平
7、面PCD.,证明,证明 因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形， 所以BECD，ADCD. 由(1)知PA底面ABCD，所以PACD. 又PAADA，所以CD平面PAD， 所以CDPD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PDEF，所以CDEF. 又EFBEE，所以CD平面BEF. 又CD平面PCD， 所以平面BEF平面PCD.,反思与感悟 (1)线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化：,(2)在运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.,跟踪训练3 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形
8、，SA平面ABCD，且SAAB，点E为AB的中点，点F为SC的中点.求证：(1)EFCD；,证明,证明 连结AC，AF，BF. SA平面ABCD，AC平面ABCD， SAAC. AF为RtSAC的斜边SC上的中线， AF SC. 又四边形ABCD是正方形， BCAB. 而由SA平面ABCD，得CBSA.,又SAABA. CB平面SAB. SB平面SAB， CBSB， BF为RtSBC的斜边SC上的中线，BF SC. AFB为等腰三角形， E为AB的中点，EFAB. 又CDAB，EFCD.,(2)平面SCD平面SCE.,证明,证明 由已知易得RtSAERtCBE， SEEC，即SEC是等腰三角形
9、，EFSC. 又EFCD，且SCCDC， EF平面SCD. 又EF平面SCE，平面SCD平面SCE.,达标检测,答案,1.给出下列四个说法： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中正确的是_.(填序号),1,2,3,4,5,解析,解析 中若两直线平行，则结论错误； 正确； 在空间中错误； 正确.,1,2,3,4,5,答案,2.已知平面平面，直线a，则直线a与的位置关系可能是_.(填序号) a
10、；a；a与相交.,1,2,3,4,5,答案,3.若将边长为2的正方形ABCD沿AC折叠成直二面角，则B，D两点间的距离为_.,2,1,2,3,4,5,4.如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.,解析 侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)， PA平面ABC，,答案,解析,1,2,3,4,5,证明,1,2,3,4,5,5.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形， 侧面SDC底面ABCD，求证：平面SDC平面SBC.,证明 因为底面ABCD是矩形，所以BCCD. 又平面SDC平面ABCD， 平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD， 所以BC平面SDC. 又因为BC平面SBC， 所以平面SDC平面SBC.,面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：,规律与方法,
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