1、章末复习课,第3章 概率,学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率； 2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率； 3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 频率与概率,频率是概率的 ，是随机的，随着试验的不同而 ；概率是多数次的试验中 的稳定值，是一个 ，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.,常数,近似值,变化,频率,知识点二 求较复杂概率的常用方法,1.将所求事件转化为彼此 的事件的和. 2.先求其 事件的概率，然后再应用公式P(A)1P( )求解.,对
2、立,互斥,知识点三 古典概型概率的计算,关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A) 求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.,关键是求得事件A所占 和 的几何测度，然后代入公式求解.,知识点四 几何概型概率的计算,整个区域,区域,题型探究,类型一 频率与概率,例1 对一批U盘进行抽检，结果如下表：,表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.,解答,(1)计算表中次品的频率；,(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？,当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0
3、.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.,解答,(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？,设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(10.02)2 000，因为x是正整数，所以x2 041，即至少需进货2 041个U盘.,解答,概率是个常数.但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计.,反思与感悟,跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：,由题意得击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.,解答,(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？,(2)假
4、设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？,击中靶心的次数大约为3000.9270.,解答,(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？,由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心.,解答,(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？,不一定.,解答,类型二 互斥事件与对立事件,例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题. (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，
5、另一个抽到判断题的概率是多少？,解答,把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种； “甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.
6、因此基本事件的总数为666220种.,(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？,解答,在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解.,反思与感悟,跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券. (1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；,解答,把4张债券分别编号1，2，3，4，其中3，4是中奖债券，用(2，3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，所有可能的结果组成的基本事件空间为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(
7、2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).,(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率.,无放回地从债券中任取2张，所有可能的结果组成的基本事件空间(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3).,解答,类型三 古典概型与几何概型,例3 已知|x|2，|y|2，点P的坐标为(x，y). (1)当xZ，yZ时，求点P在区域(x2)2(y2)24内的概率；,因为|x|2，|y|2，所
8、以2x2，2y2. (x2)2(y2)24是由圆(x2)2(y2)24上及 圆内的所有点组成的区域. 当xZ，yZ时，如图1所示，直线x2，1， 0，1，2和直线y2，1，0，1，2的交点即为 点P的可能情况，共有25种，其中在圆上和圆内的共有6种(图中黑点). 记“点P在区域(x2)2(y2)24内”为事件A，则P(A) .,解答,(2)当xR，yR时，求点P在区域(x2)2(y2)24内的概率.,当xR，yR时，如图2所示，点P所在的区域是一个 边长为4的正方形，这个正方形和区域(x2)2(y2)2 4的公共部分是一个扇形(图中阴影)，记“点P在区域(x2)2(y2)24内”为事件B，,解
9、答,反思与感悟,求解有关古典概型和几何概型问题，首先要将基本事件从具体问题中抽象出来，然后判断基本事件是否等可能发生以及基本事件是有限的还是无限的，最后选择合适的模型求解.,跟踪训练3 (1)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_.,设2本数学书分别为A、B，语文书为C，则所有的排放顺序为ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC、BAC、 CAB、CBA，共4种情况，故2本数学书相邻的概率为P .,答案,解析,(2)如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大
10、正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为_.,设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中,答案,解析,类型四 列举法与数形结合法,例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？,记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能可用树形 图方式列出：如右图. 每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为 16个，而又回到A手中的事件个数为6个，根据古典 概型概率公式得P .,解答,反思与感悟,事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树形图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达.,跟踪训练4 设M1，2，
11、3，4，5，6，7，8，9，10，任取x，yM，xy.求xy是3的倍数的概率.,利用平面直角坐标系列举，如图所示. 由此可知，基本事件总数n1234 5678945.而xy是3的倍数 的情况有m12443115(种). 故所求事件的概率 .,解答,当堂训练,1.下列事件中，随机事件有_.(填序号) 在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； 在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； 从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； 在标准大气压下，水在4 时结冰.,答案,解析,2,3,4,5,1,在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短
12、跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件； 在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件； 从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件； 在标准大气压下，水在4 时结冰是不可能事件.故填.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是_事件.(填“互斥不对立”“对立不互斥”),互斥不对立,答案,解析,根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还
13、有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.,2,3,4,5,1,3.下列试验属于古典概型的有_. 从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色； 在公交车站候车不超过10分钟的概率； 同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数； 从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌.,答案,解析,古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性.符合两个特征； 对于和，基本事件的个数有无限多个； 对于，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等.,4.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住
14、一间房的概率为_.,2,3,4,5,1,0.5,答案,解析,共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住A”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是0.5.,2,3,4,5,1,5.任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是_.,三位正整数有100999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29， 共3个，故所求事件的概率为 .,答案,解析,规律与方法,1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.若事件A1，A2，A3，An彼此互斥，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). 2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)本试验是不是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？ (3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.,3.几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解.,本课结束,
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