1、第1课时 平面向量的坐标表示及坐标运算,第2章 2.3.2 平面向量的坐标运算,学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 平面向量的坐标表示,思考1,如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30，且|a|4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?,答案 a2 i2j.,答案,思考2,在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a(1，1)，则向
2、量a的位置确定了吗？,答案 对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关.,答案,梳理,(1)平面向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a(x，y). 在平面直角坐标平面中，i(1，0)，j(0，1)，0(0，0).,
3、单位向量,(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系,知识点二 平面向量的坐标运算,答案,思考,设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i、j表示？,答案 ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.,梳理,(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数,(x1，y1),(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量 (x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.,题型探究,
4、类型一 平面向量的坐标表示,解答,(1)求向量a，b的坐标；,解 作AMx轴于点M，,AOC18010575，AOy45， COy30. 又OCAB3，,(3)求点B的坐标.,解答,反思与感悟,在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.,解 如图，正三角形ABC的边长为2， 则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60，2sin 60)，,解答,类型二 平面向量的坐标运算,解答,(1)当为何值时，点P在函数yx的图象上？,所
5、以点P的坐标是(55，47).,解答,(2)若点P在第三象限，求实数的取值范围.,解得1. 实数的取值范围是(，1).,反思与感悟,向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.,跟踪训练2 已知a(1，2)，b(2，1)，求： (1)2a3b；,解 2a3b2(1，2)3(2，1)(2，4)(6，3)(4，7).,(2)a3b；,解 a3b(1，2)3(2，1)(1，2)(6，3)(7，1).,解答,类型三 平面
6、向量坐标运算的应用,解答,(1)点P在第一、三象限的角平分线上；,解 设点P的坐标为(x，y)，,(3，1)(5，7)(35，17).,若点P在一、三象限角平分线上，,(2)点P在第三象限内.,解 若点P在第三象限内，,解答,当1时，点P在第三象限内.,反思与感悟,(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.,跟踪训练3 已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，
7、8)(m，nR)，则mn的值为_.,解析 a(2，1)，b(1，2)， manb(2mn，m2n)(9，8)，,3,答案,解析,故mn253.,当堂训练,1.设平面向量a(3，5)，b(2，1)，则a2b_.,1,2,3,4,5,(7，3),答案,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 设D点坐标为(x，y)，,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,(7，4),答案,解析,5.如图，在66的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.,解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1， 则可得a(1，2)，b(2，3)，c(3，4).,答案,解析,1,2,3,4,5,1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化. 2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时 (xBxA，yByA). 3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.,规律与方法,本课结束,
浙公网安备33030202001339号