1、2.1 函数概念,第二章 2 对函数的进一步认识,学习目标 1.理解函数的概念. 2.了解构成函数的三要素. 3.正确使用函数、区间符号.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数的概念,思考 初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图像？,答案 因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应关系来定义函数的概念.,梳理 函数的概念： 给定两个 A和B，如果按照某个 f，对于集合 中任何一个数x，在集合 中都存在 的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：AB，或 ，
2、xA.其中，x叫作 ，集合A叫作函数的 ，集合f(x)|xA叫作函数的 .习惯上我们称y是x的函数. 用函数的上述定义可以轻松判断：A0，B1，f：01，满足函数定义，其图像(0,1)自然是函数图像.,非空数集,对应关系,A,B,唯一确定,yf(x),自变量,定义域,值域,知识点二 函数三要素,思考 函数f(x)x2，xR与g(t)t2，tR是不是同一个函数？,答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数.,梳理 一般地，函数有三个要素：定义域、对应关系与值域.其中，定义域和对应关系起决定作用，只要确定了一个函数的定义域和对应关系，
3、这个函数也就确定，值域也随之确定. 两点说明：(1)在没有标明函数定义域的情况下，定义域是使函数解析式有意义的x的取值范围.在实际问题中，除了要使函数式有意义，还要符合实际意义. (2)f(a)表示自变量xa时对应的函数值.,知识点三 区间,1.区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：,2.注意：(1)“”读作无穷大，是一个符号，不是数，以或作为区间一端时，这一端必须是小括号. (2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大.,思考辨析 判断正误 1.集合A正方形可以作为某个函数的定义域.( ) 2.若1A，则对于f：AB，f(1)可能不存在.( ) 3.对于函数f：AB，
4、当x1x2A，可能有f(x1)f(x2).( ) 4.区间不可能是空集.( ),题型探究,类型一 函数关系的判断,解答,命题角度1 给出三要素判断是否为函数 例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数. (1)AR，Bx|x0，f：xy|x|；,解 A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数.,(2)AZ，BZ，f：xyx2；,解 对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：xyx2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.,解答,解 集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数.,(4)Ax|1x1，B0，
5、f：xy0.,解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：xy0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.,反思与感悟 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.,跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是,B.AN，BN，f：x|x1| C.AxR|x0，BR，f：xx2,B中，当x1时，绝对值x10，集合B中没有0； C正确； D不正确.,答案,解析,命题角度2 给出图形判断是否为函数图像 例2 下列图形中不是函数图像的是,
6、答案,解析,解析 A中至少存在一处如x0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图像，其余B、C、D均符合函数定义.,反思与感悟 (1)判断一个图像是否为函数图像的方法：作任何一条垂直于x轴的线，不与已知图像有两个或两个以上的交点的就是函数图像. (2)函数图像上点的横坐标、纵坐标分别对应函数自变量、因变量的取值，故判断图形是否为函数图像，主要看横坐标、纵坐标之间的对应关系是否满足函数定义.,解析 A中，定义域为2,0，不符合题意； B中，定义域为2,2，值域为0,2，符合题意； C中，存在一个x值对应2个y值的情形，不是函数； D中，
7、定义域为2,2，但值域不是0,2，不符合题意.,跟踪训练2 若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图像可能是,答案,解析,类型二 已知函数的解析式，求其定义域,例3 求下列函数的定义域.,解答,解答,解 由于0的零次幂无意义，故x10，即x1. 又x20，即x2， 所以x2且x1.,解答,反思与感悟 求函数定义域的常用依据 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个
8、式子都有意义； (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.,解析,答案,x|x0且x1,故函数f(x)的定义域为x|x0且x1.,类型三 函数相等,例4 下列函数中哪个与函数yx相等？,解答,解答,且当x0时，它的对应关系与函数yx不相同， 所以与yx不是同一函数；,所以与yx不是同一函数.,反思与感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相同.值域相同，只是前两个要素相同的必然结果.,跟踪训练4 下列各组中的两个函数是否为相等的函数？,解答,解 两函数定义域不同，所以两函数不相同.,所以两函数不相同.,类型四 对于f(x)，f(a)的理解,14
9、,a216，a14.,答案,解析,求f(2)，g(2)的值；,又因为g(x)x22，所以g(2)2226.,求f(g(2)的值；,解答,求f(a1)，g(a1).,解答,g(a1)(a1)22a22a3.,反思与感悟 f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可.,解答,(2)求f(1x)及f(f(x).,解答,达标检测,1.对于函数yf(x)，以下说法正确的有 y是x的函数； 对于不同的x，y的值也不同； f(a)表示当xa时函数f(x)的值，是一个常量； f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来. A.1个 B.2个
10、 C.3个 D.4个,答案,1,2,3,4,5,2.区间(0,1)等于 A.0,1 B.(0,1) C.x|0x1 D.x|0x1,1,2,3,4,5,答案,3.对于函数f：AB，若aA，则下列说法错误的是 A.f(a)B B.f(a)有且只有一个 C.若f(a)f(b)，则ab D.若ab，则f(a)f(b),1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,答案,解析,5.下列各组函数是同一函数的是,1,2,3,4,5,答案,解析,f(x)x22x1与g(t)t22t1. A. B. C. D.,1,2,3,4,5,f(x)x22x1与g(t)t22t1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数.
11、,1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定，所以判断两个函数是否相同只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可. 2.定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合.,规律与方法,3.在yf(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量.关于对应关系f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值.如f(x)3x5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)34517.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值.,
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