1、第2课时 圆与圆的位置关系,第二章 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系,学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类. 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系. 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 两圆位置关系的判定,思考 圆与圆的位置关系有几种？如何判断圆与圆的位置关系？ 答案 圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含.可根据圆心距与两圆半径的和差关系判定.,梳理 两圆位置关系的判定两圆C1，C2有以下位置关系：,0,2,1,特别提醒：(1)仅从圆与
2、圆的交点个数判定是不科学的，如有1个交点，就不能判定是内切还是外切，应再结合图像判定. (2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意相切时的判定. (3)一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以减少运算量，提高解题的速度.,题型探究,命题角度1 两圆位置关系的判断 例1 已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2 ，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,类型一 两圆的位置关系,答案,解析,又a0，a2. 圆M的方程为x2y24y0， 即x2(y2)24，圆心为M(0,2)，半径为r12. 又圆N：(x1
3、)2(y1)21，圆心为N(1,1)，半径为r21，r1r21，r1r23,1|MN|3， 两圆相交.,反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要). (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2. (3)求两圆的圆心距d. (4)比较d与|r1r2|，r1r2的大小关系. (5)根据大小关系确定位置关系.,跟踪训练1 已知圆C1：x2y22x4y40和圆C2：4x24y216x8y190，则这两个圆的公切线的条数为 A.1或3 B.4 C.0 D.2,答案,解析,解析 由圆C1：(x1)2(y2)21，得C1(1，2)，C
4、2(2，1)，,则r1r2|C1C2|r1r2， 圆C1与圆C2相交. 故这两个圆的公切线共2条.,命题角度2 已知两圆的位置关系求参数 例2 当a为何值时，两圆C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230： (1)外切；,解答,解 将两圆方程写成标准方程，则 C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24. 两圆的圆心和半径分别为C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22. 设两圆的圆心距为d， 则d2(a1)2(2a)22a26a5. 当d5，即2a26a525时，两圆外切， 此时a5或a2.,(2)相交；,解答,解 当1d5，即12a26a525时，
5、两圆相交， 此时5a2或1a2.,(3)相离.,解 当d5，即2a26a525时，两圆相离， 此时a2或a5.,反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径； 计算两圆圆心的距离d； 通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合. (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.,跟踪训练2 若圆C1：x2y216与圆C2：(xa)2y21相切，则a的值为 A.3 B.5 C.3或5 D.3或5,当两圆外切时，
6、有|a|415， a5； 当两圆内切时，有|a|413， a3.,解析,答案,类型二 两圆的公共弦问题,例3 已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80. (1)判断两圆的位置关系；,解答,解 将两圆方程配方化为标准方程，则 C1：(x1)2(y5)250， C2：(x1)2(y1)210， 圆C1的圆心坐标为(1，5)，半径为r15 ， 圆C2的圆心坐标为(1，1)，半径为r2 .,|r1r2|C1C2|r1r2， 两圆相交.,(2)求公共弦所在的直线方程；,解答,解 将两圆方程相减， 得公共弦所在的直线方程为x2y40.,(3)求公共弦的长度.,解答,公共弦长为,反思与感悟 (
7、1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20. (2)公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.,跟踪训练3 (1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m，1)，两圆圆心都在直线xyc0上，则mc的值为_.,解析 由题意知直线AB与直线xyc0垂直， kAB11，,3,AB的中点坐标为(3,1). 又AB的中点在
8、直线xyc0上， 31c0，c2， mc523.,答案,解析,(2)求圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在的直线被圆C3：(x1)2(y1)2 截得的弦长.,解答,解 由题意将两圆的方程相减， 可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为xy10. 又圆C3的圆心坐标为(1,1)，,类型三 圆系方程及应用,例4 求圆心在直线xy40上，且过两圆x2y24x60和x2y24y60的交点的圆的方程.,解答,解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x2y24x6(x2y24y6)0(1)，,又圆心在直线xy40上，所以所求圆的方程为x2y26x2y60.,得两圆公共弦所在直线
9、的方程为yx.,所以两圆x2y24x60和x2y24y60的交点坐标分别为 A(1，1)，B(3,3)，,线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y1(x1).,即所求圆的圆心为(3，1)，,所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.,反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)，然后用待定系数法求出即可.,跟踪训练4 求过直线xy40与圆x2y24x2y40的交点且与直线yx相切的圆的方程.,解答,解 设所求圆的方程为x2y24x2y4(xy4)0.,得x2(1)x2(1)0. 因为所求圆与直线yx相切， 所以0， 即(1)28(1
10、)0， 解得3， 故所求圆的方程为x2y27xy80.,达标检测,答案,1.两圆x2y210和x2y24x2y40的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,1,2,3,4,5,解析,解析 圆x2y210的圆心为C1(0,0)，半径为r11，圆x2y24x2y40的圆心为C2(2，1)，半径为r23，又r2r12，r1r24， 所以r2r1dr1r2， 故两圆相交.,答案,解析,2.圆C1：x2y21与圆C2：x2(y3)21的内公切线有且仅有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,解析 因为两圆的圆心距为3，半径之和为2， 故两圆相离， 所以内公切线的条数为2.,1,2,3,4,
11、5,3.圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是 A.xy30 B.2xy50 C.3xy90 D.4x3y70,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即可排除A，B，D.,解析 设圆C的半径为r，当圆C与圆O外切时，r15，r4； 当圆C与圆O内切时，r15，r6， 圆的方程是(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336.,1,2,3,4,5,解析,答案,4.已知以C(4，3)为圆心的圆与圆O：x2y21相切，则圆C的方程是_.,(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)236,5.若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2 ，则a_.,1,1,2,3,4,5,答案,解析,所以a1.,1.判断两圆的位置关系的方法 (1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用. (2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系判断. 2.当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.,规律与方法,
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