1、第1章 解三角形,1.2 余弦定理(二),1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解决简单的实际问题. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形,思考,答案,能.在余弦定理b2a2c22accos B中，已知三个量ACb，ABc，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可.,梳理 已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：,(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形
2、的解唯一； (2)当A为直角且ab时，三角形的解唯一；,(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半 径作圆， 三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： 当ab，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一.,知识点二 判定三角形的形状,思考1,答案,不需要.如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2b2c2来判断cos C的正负.而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说.,三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形.在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？,思考2,答案
3、,A，B(0，)，2A,2B(0,2)， 2A2B或2A2B， 即AB或AB 2 .,ABC中，sin 2Asin 2B，则A，B一定相等吗？,梳理 判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角).在转化条件时要注意等价.,知识点三 证明三角形中的恒等式,思考,答案,前面我们用正弦定理化简过acos Bbcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？,梳理 证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异.,题型探究,例1 一商船行至某海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号.正在该海域执行护航任务的海军
4、舰艇在A处获悉后，即测出该商船在北偏东45，距离10海里的C处，并沿方位角为105的方向，以9海里/时的速度航行，舰艇立即以21海里/时的速度前去营救.求舰艇靠近商船所需要的最短时间及所经过的路程.,解答,类型一 用余弦定理解决实际问题,如图，若舰艇以最短时间在B处追上商船，则A， B，C构成一个三角形. 设所需时间为t小时，则AB21t，BC9t. 又AC10，依题意得ACB120. 根据余弦定理，得 AB2AC2BC22ACBCcosACB. 所以(21t)2102(9t)22109tcos 120， 所以(21t)210081t290t， 即360t290t1000，,解决实际测量问题的
5、过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.,反思与感悟,跟踪训练1 某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？,解答,如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追 上走私船， 则CB10x，AB14x，AC9， ACB7545120，由余弦定理， 得(14x)292(10x)22910xcos 120，所以巡逻艇需要1.5小时才追赶上该
6、走私船. 所以BC10x15，AB14x21， 在ABC中，由正弦定理，得,所以BAC3813，或BAC14147(钝角不合题意，舍去)， 所以3813458313. 所以巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船.,类型二 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式,例2 在ABC中，有 (1)abcos Cccos B； (2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A， 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.,证明,方法一 (1)由正弦定理，得 b2Rsin B，c2Rsin C， bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Cc
7、os B 2R(sin Bcos Ccos Bsin C) 2Rsin(BC) 2Rsin Aa. 即abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,方法二 (1)由余弦定理，得abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,反思与感悟,证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系.,证明,等式成立.,等式成立.,类型三 利用正弦、余弦
8、定理判断三角形形状,例3 在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试判断ABC的形状.,解答,由(abc)(bca)3bc， 得b22bcc2a23bc，即b2c2a2bc，又sin A2sin Bcos C， 由正弦、余弦定理，得,b2c2，bc，ABC为等边三角形.,引申探究 若将本例中的条件(abc)(bca)3bc改为(b2c2a2)2b3cc3ba2bc，其余条件不变，试判断ABC的形状.,解答,由(b2c2a2)2b3cc3ba2bc，得 (b2c2a2)2bc(b2c2a2)， (b2c2a2)(b2c2a2bc)0， b2c2a20或b2
9、c2a2bc0， a2b2c2或b2c2a2bc， 由a2b2c2，得A90； 由b2c2a2bc，得cos A 1 2 ， A60. ABC为等边三角形或等腰直角三角形.,反思与感悟,(1)判断三角形的形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，进而作出判断. (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2c2a2 2bccos A，b2c2(bc)22bc等等.,解答,跟踪训练3 在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状.,方法一 根据余弦定理，得b2a2c22accos B. B60，2bac，,整理得(ac)20，ac. 又2ba
10、c，2b2c，即bc. ABC是等边三角形.,方法二 根据正弦定理， 2bac可转化为2sin Bsin Asin C. 又B60，AC120，C120A， 2sin 60sin Asin(120A)，A(0，120)， 整理得sin(A30)1，A30(30，150)， A3090，A60，C60. ABC是等边三角形.,当堂训练,b2a2c22accos Ba2c2ac，0B180，B120.,1,2,3,4,答案,解析,1.在ABC中，若b2a2c2ac，则B .,120,2cos Bsin Asin C，ab.故ABC为等腰三角形.,1,2,3,4,2.在ABC中，若2cos Bsin
11、 Asin C，则ABC的形状一定是 三角形.,等腰,答案,解析,3.如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 .,1,2,3,4,答案,解析,45,1,2,3,4,又CD50 m，所以在ACD中，,又0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.,1,2,3,4,答案,解析,规律与方法,1.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实现边、角转换. 2.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一. 3.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.,本课结束,
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