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    北师大版高中数学必修五课件:2.1.2 第1课时 余弦定理及其直接应用

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    北师大版高中数学必修五课件:2.1.2 第1课时 余弦定理及其直接应用

    1、第1课时 余弦定理及其直接应用,第二章 1.2 余弦定理,学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 余弦定理,答案,思考1 根据勾股定理,若在ABC中,C90,则c2a2b2a2b22abcos C 试验证式对等边三角形还成立吗?你有什么猜想?,答案 当abc时,C60, a2b22abcos Cc2c22cccos 60c2, 即式仍成立,据此猜想,对一般ABC,都有c2a2b22abcos C.,思考2 在c2a2b22abcos C中,abcos C能解释为

    2、哪两个向量的数量积?你能由此证明思考1的猜想吗?,答案,猜想得证,梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述,b2c22bccos A,a2c22accos B,a2b22abcos C,其他两边的平方的和减去这两 边与它们的夹角的余弦的积的两倍,特别提醒:余弦定理的特点 (1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立 (2)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量,知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题,思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪类三角形?,

    3、答案,答案 每个公式右边都涉及三个量,两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角,可用余弦定理解三角形,思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪类三角形?,答案,答案 每个公式右边都涉及三个量,即三角形的三条边,故如果已知三角形的三边,也可用余弦定理解三角形,梳理 余弦定理适合解决的问题:(1)已知两边及其夹角,解三角形;(2)已知三边,解三角形,思考辨析 判断正误 1.勾股定理是余弦定理的特例.( ) 2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.( ) 3.在ABC中,已知两边及其夹角时,ABC不一定唯一.( ),题型探究,例1 已知ABC

    4、,BCa,ACb和角C,求c.,类型一 余弦定理的证明,解答,解 则|c|2cc(ab)(ab) aabb2ab a2b22|a|b|cos C, 所以c2a2b22abcos C.,反思与感悟 所谓证明,就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿,要勘探地形,证明一个公式,要观察公式两边的结构特征,联系已经学过的知识,看有没有相似的地方.,跟踪训练1 例1涉及线段长度,能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题?,解 如图,以A为原点,边AB所在直线为x轴建立 直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),C(bcos A,bsin A), BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin

    5、2A, 即a2b2c22bccos A. 同理可证b2c2a22cacos B, c2a2b22abcos C.,解答,类型二 用余弦定理解三角形,命题角度1 已知两边及其夹角 例2 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a3,b2,cos(AB) ,则c等于,答案,解析,解答,因为ba,所以BA, 所以A为锐角,所以A30.,命题角度2 已知三边,解答,解答,解 因为abcsin Asin Bsin C245, 所以可令a2k,b4k,c5k(k0). c最大,所以C为钝角,从而三角形为钝角三角形.,达标检测,答案,1,2,3,4,5,解析,解析 abc,C为最小角且C为锐角,,

    6、1,2,3,4,5,解析,答案,答案,1,2,3,3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为,4,5,答案,解析,解析 设顶角为C,周长为l,因为l5c,所以ab2c,,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,解析 c2a2b22abcos C,,a2a20,即(a2)(a1)0, a1或a2(舍去),a1.,1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角,解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理的关系:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角.,规律与方法,


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