1、4.3 简单线性规划的应用,第三章 不等式,学习目标 1.体会用线性规划的方法解决实际问题的过程. 2.了解整数点最优解的求法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 线性规划在实际中的应用,思考 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：,为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，应怎样安排生产. 在这一问题中，种植成本和种植总利润与哪些变量有关？如何用这些变量表示种植成本和总利润？,答案,答案 种植成本和总利润都与黄瓜、韭菜各自的种植面积有关. 设黄瓜、韭菜各种x，y亩， 则种植成
2、本1.2x0.9y，总利润40.55x60.3y(1.2x0.9y).,梳理 解答线性规划应用题的一般步骤 (1)审题仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺. (2)转化设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题. (3)求解解这个纯数学的线性规划问题. (4)作答就应用题提出的问题作出回答.,知识点二 整数点最优解,思考 在下面的问题中： 某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品
3、至少各买一件，要使剩下的钱最少，设A，B两种用品各买的件数为x，y. (1)x，y能取1.5，1.3之类的小数吗？(2)该问题的可行域是连续的区域吗？,答案,答案 不能.,答案 不是.可行域是由整数点组成.,梳理 (1)在实际问题中，有些变量如人数、车辆数等必须取整数.在这样的线性规划问题中，可行域、最优解都会受到影响. (2)寻找整点最优解的三种方法 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.,小范围搜寻法：
4、即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解.,思考辨析 判断正误 1.在从实际问题中抽象出约束条件、目标函数时，设谁为x，y都没关系.( ) 2.在约束条件中，有没有“xN，yN”，最优解都一样.( ),题型探究,类型一 连续型变量的实际线性规划,例1 营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1
5、 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg? 将已知数据列成下表：,解答,目标函数为z28x21y. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，,解 设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，,由图可知，当直线z28x21y经过可行域上的点M时， 截距最小，即z最小.,反思与感悟 在把实际问题抽象成线性规划时，要注意找到决策变量，并用决策变量表示每一个约束条件和目标函数.,答案,解析,跟踪训练1 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货
6、物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为_.,4，1,目标函数z20x10y，画出可行域如图阴影部分所示.,易知当直线z20x10y平移经过点A时，z取得最大值， 即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.,解答,类型二 离散型变量的线性规划问题,例2 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配
7、件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数),解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件，y件，获取的利润为z百元，,作出可行域，如图阴影部分中的整点，,平移直线y2xz，又x，yN，所以当直线过点(3，2)或(4，0)时，z有最大值. 所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大.,反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最
8、优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.,跟踪训练2 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？,解答,解 设桌子、椅子分别买x张，y把，目标函数为zxy，把所给的条件表示成不等式组，,故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.,达标检测,答案,1,2,3,解析,1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 A
9、.5种 B.6种 C.7种 D.8种,1,2,3,落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)共7个整点.即有7种选购方式.,解析 设购买软件x片，磁盘y盒，,解析 设截518 mm和698 mm的两种毛胚分别为x个、y个(x，yN). 由题意知，即求z518x698y的最大值.,2.一批长400 cm的条形钢材，需要将其截成518 mm与698 mm的两种毛胚，则钢材的最大利用率为_.,99.65%,又由z4 000，得当x5，y2时， zmax518569823 986.,1,2,3,解析,答案,1,2,3,解析,答案
10、,3.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为_元.,2 300,1,2,3,目标函数为z200x300y. 作出其可行域(图略)， 易知当x4，y5时，z200x300y有最小值2 300.,1.解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法. (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解. (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案. 2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调.,规律与方法,
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