1、1.1.1 角的概念的推广,第一章 1.1 任意角的概念与弧度制,学习目标 1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 角的相关概念,我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？,答案,答案 一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角
2、的终边，O叫角的顶点. 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.,(1)角的概念：角可以看成是 绕着它的 从一个位置到另一个位置所成的图形. (2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：,梳理,(3)角的运算：各角和的旋转量等于 .,一条射线,端点,旋转,逆时针方向旋转,顺时针方向旋转,没有旋转,各角旋转量的和,思考1,知识点二 终边相同的角,假设60的终边是OB，那么660，420的终边与60的终边有什么关系，它们与60分别相差多少？,答案,答案 它们的终边相同.660602360，42060360，故它们与6
3、0分别相差了2个周角及1个周角.,思考2,如何表示与60终边相同的角？,答案 60k360(kZ).,梳理,终边相同角的表示 设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为S|k360，kZ，集合S的每一个元素都与终边相同，当k0时，对应元素为.,思考,知识点三 象限角,把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的正半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？,答案,答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.,梳理,在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合. 象限角：角的 在第几象限，就把这个角叫做第几象限角. 轴线角：终
4、边落在 的角.,终边,坐标轴上,题型探究,解析 锐角指大于0小于90的角，都是第一象限的角，所以对； 由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180的角还有负角、零角，所以错误.,解答,类型一 任意角概念的理解,例1 (1)给出下列说法： 锐角都是第一象限角； 第一象限角一定不是负角； 第二象限角是钝角； 小于180的角是钝角、直角或锐角. 其中正确说法的序号为 .,答案,解析,(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是 . 解析 分针每分钟转6，由于顺时针旋转，所以20分钟转了120.,解答,答案,解析,120,反思与感悟,解决此类问题要正确理解锐角、钝角、09
5、0角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.,解 顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为720.,跟踪训练1 写出下列说法所表示的角. (1)顺时针拧螺丝2圈；,解答,(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.,解 拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900.,命题角度1 求与已知角终边相同的角 例2 在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角； 解 与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)， 由360k36010 0300， 得10 390k
6、36010 030，解得k28， 故所求的最大负角为50.,类型二 终边相同的角,解答,(2)最小的正角； 解 由0k36010 030360， 得10 030k3609 670，解得k27， 故所求的最小正角为310. (3)360，720)的角. 解 由360k36010 030720， 得9 670k3609 310，解得k26， 故所求的角为670.,解答,反思与感悟,求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.,解答,跟踪训练2 写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来. 解
7、 由终边相同的角的表示知，与角1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kZ. 720360， 即720k3601 910360(kZ)， 3 k6 (kZ)，故取k4，5，6. 当k4时，43601 910470； 当k5时，53601 910110； 当k6时，63601 910250.,解 终边在y (x0)上的角的集合是S1|120k360，kZ； 终边在y (x0)上的角的集合是S2|300k360，kZ. 因此，终边落在直线y 上的角的集合是 SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ， 即S|1202k180，kZ|120(2k1)180，kZ|120n18
8、0，nZ. 故终边在直线y 上的角的集合是S|120n180，nZ.,命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例3 写出终边在直线y 上的角的集合.,解答,反思与感悟,求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并.,解答,跟踪训练3 写出终边在直线y 上的角的集合.,解 终边在y (x0)上的角的集合是S1|30k360，kZ； 终边在y (x0)上的角的集合是S2|210k360，kZ. 因此，终边在直线y 上的角的集合是SS1S2|30k360，kZ|210k360，kZ， 即S|302k180，kZ|30(2k1)180，kZ|30n18
9、0，nZ. 故终边在直线y 上的角的集合是S|30n180，nZ.,类型三 象限角的判定,解答,例4 在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. (1)150；,解 因为150360210，所以在0360范围内， 与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角.,(2)650；,解 因为650360290，所以在0360范围内， 与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.,解答,(3)95015. 解 因为95015336012945， 所以在0360范围内， 与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角.,解答,引申探究 确定 (nN)的终边
10、所在的象限.,解 一般地，要确定 所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1，2，3，4，4n，标号为几的区域，就是根据所在第几象限时， 的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.,反思与感悟,判断象限角的步骤 (1)当0360时，直接写出结果. (2)当0或360时，将化为k360(kZ，0360)，转化为判断角所属的象限.,跟踪训练4 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来. (1)60；
11、解 60角是第一象限角，所有与60角终边相同的角的集合S| 60k360，kZ，S中适合360720的元素是60(1) 360300，60036060，601360420. (2)21. 解 21角是第四象限角，所有与21角终边相同的角的集合S|21k360，kZ，S中适合360720的元素是21036021，211360339，212360 699.,解答,当堂训练,1.下列说法正确的是 A.终边相同的角一定相等 B.钝角一定是第二象限角 C.第一象限角一定不是负角 D.小于90的角都是锐角,答案,2,3,4,5,1,2.与457角终边相同的角的集合是 A.|k360457，kZ B.|k3
12、6097，kZ C.|k360263，kZ D.|k360263，kZ,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 4572360263，故选C.,2,3,4,5,1,3.2 017是第 象限角. 解析 因为2 0175360217，故2 017是第三象限角.,答案,解析,三,2,3,4,5,1,4.与1 692终边相同的最大负角是 . 解析 1 6924360252， 与1 692终边相同的最大负角为252.,答案,解析,252,5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 解 终边落在x轴上的角的集合 S1|k180，kZ； 终边落在y轴上的角的集合 S2|k18090，kZ. 终边落在坐标轴上的角的
13、集合 SS1S2|k180，kZ|k18090，kZ |2k90或(2k1)90，kZ |n90，nZ.,解答,2,3,4,5,1,规律与方法,1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同的角的认识 一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.,注意：(1)为任意角. (2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360(). (3)相等的角终边一定相同.终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍. (4)kZ这一条件不能少.,本课结束,
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