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    人教B版高中数学必修四课件:1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)

    • 资源ID:56090       资源大小:2.27MB        全文页数:40页
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    人教B版高中数学必修四课件:1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)

    1、1.3.1 正弦函数的图象与性质(二),第一章 1.3 三角函数的图象与性质,学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数yAsin(x)的周期. 3.掌握函数ysin x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 函数的周期性,如果函数f(x)满足f(x3)f(x),那么3是f(x)的周期吗?,答案,答案 不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时,都有f(x3)f(x),才可以说3是f(x)的周期.,思考2,所有的函数都具有周期性吗?,答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.,

    2、思考3,周期函数都有最小正周期吗?,答案,答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)c(c为常数,xR),所有非零实数T都是它的周期,而最小正周期是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.,函数的周期性 (1)对于函数f(x),如果存在一个 ,使得定义域内的 值,都满足 ,那么函数f(x)就叫做周期函数, 叫做这个函数的周期. (2)对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个 ,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.,梳理,非零常数T,每一个x,f(xT)f(x),非零常数T,最小的正数,思考1,知识点二 正弦函数的周期性,证明函数ysin x是周期函数. 答案

    3、sin(x2)sin x, ysin x都是周期函数, 且2就是它们的一个周期.,答案,思考2,证明函数f(x)Asin(x)(A0)是周期函数.,答案,答案 由诱导公式一知,对任意xR, 都有Asin(x)2Asin(x),,梳理,由sin(x2k) (kZ)知,ysin x是 函数,_ 是它的周期,且它的最小正周期是 .,sin x,周期,2k (kZ且k0),2,思考1,知识点三 正弦函数的奇偶性,观察正弦曲线的对称性,你有什么发现?,答案,正弦曲线:,答案 正弦函数ysin x的图象关于原点对称.,思考2,上述对称性反映出正弦函数有什么性质?如何从理论上加以验证?,答案,答案 正弦函数

    4、是R上的奇函数.根据诱导公式,得sin(x)sin x,对一切xR恒成立.,梳理,对于ysin x,xR恒有sin(x)sin x,所以正弦函数ysin x是函数,正弦曲线关于 对称.,奇,原点,题型探究,解答,类型一 三角函数的周期性,例1 求下列函数的最小正周期.,函数f(x)sin z的最小正周期是2, 即变量z只要且至少要增加到z2, 函数f(x)sin z(zR)的值才能重复取得.,所以自变量x只要且至少要增加到x,函数值才能重复取得,,解答,(2)y|sin x|(xR).,其图象如图所示,,所以该函数的最小正周期为.,反思与感悟,对于形如函数yAsin(x),A0时的最小正周期的

    5、求法常直接利用T 来求解,对于y|Asin x|的周期情况常结合图象法来求解.,解答,跟踪训练1 求下列函数的周期.,(2)y|sin 2x|.,解答,类型二 三角函数的奇偶性,例2 判断下列函数的奇偶性.,f(x)是偶函数.,解答,(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x);,f(x)的定义域关于原点对称. 又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x), f(x)lg1sin(x)lg1sin(x) lg(1sin x)lg(1sin x)f(x). f(x)为奇函数.,解答,解 1sin x0,sin x1,,定义域不关于原点对称, 该函数是非奇非偶函数.,反思与感悟,判

    6、断函数奇偶性应把握好两个关键点: 关键点一:看函数的定义域是否关于原点对称. 关键点二:看f(x)与f(x)的关系. 对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.,解答,跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.,解 f(x)sin 2xx2sin x, xR,f(x)sin(2x)(x)2sin(x) sin 2xx2sin xf(x), f(x)是奇函数.,解答,f(x)的定义域不关于原点对称. f(x)是非奇非偶函数.,解答,类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用,例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是,且当x 时,f(x)si

    7、n x,求f 的值.,解 f(x)的最小正周期是,,f(x)是R上的偶函数,,反思与感悟,解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性,把自变量x的值转化到可求值区间内.,解答,解答,类型四 函数周期性的综合应用,例4 已知函数f(x)cos x,求f(1)f(2)f(3)f(2 020)的值.,f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0. 同理,可得每连续六项的和均为0. f(1)f(2)f(3)f(2 020) f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020),反思与感悟,当函数值的出现具有一定的周期性时,可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况,再给予推广求值

    8、.,跟踪训练4 设函数f(x)sin x,则f(1)f(2)f(3)f(2 015) .,0,答案,解析,f(1)f(2)f(3)f(2 015)335f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015),f(33561)f(33562)f(33563)f(33564)f(33565) 3350f(1)f(2)f(3)f(4)f(5),当堂训练,2,3,4,5,1,答案,2.下列函数中,周期为的偶函数是,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周

    9、期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数,答案,解析,f(x)cos 2x. 又f(x)cos(2x)cos 2xf(x), f(x)是最小正周期为的偶函数.,答案,2,3,4,5,1,解析,4.函数ysin(x )的最小正周期为2,则的值为 .,|, .,2,3,4,5,1,答案,解析,规律与方法,1.求函数的最小正周期的常用方法: (1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T. (2)图象法,即作出yf(x)的图象,观察图象可求出T,如y|sin x|. (3)结论法,一般地,函数yAsin(x)(其中A、为常数,A0,0,xR)的周期T 2.判断函数的奇偶性,必须坚持“定义域优先”的原则,准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称,再看f(x)与f(x)的关系,从而判断奇偶性.,本课结束,


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