1、1.3.1 正弦函数的图象与性质(三),第一章 1.3 三角函数的图象与性质,学习目标 1.掌握ysin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握ysin x的单调性，并能利用单调性比较大小. 3.会求函数yAsin(x)的单调区间.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 正弦函数的定义域、值域,观察下图中的正弦曲线. 正弦曲线：,可得如下性质： 由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R，值域是 . 对于正弦函数ysin x，xR有：当且仅当x 时，取得最大值1；当且仅当x 时，取得最小值1.,1，1,知识点二 正弦函数的单调性,思考1,正弦函
2、数在 上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？,答案,答案 观察图象可知：,推广到整个定义域可得,思考2,正弦函数的单调区间是什么？,答案,梳理,正弦函数ysin x的图象与性质,题型探究,解答,类型一 求正弦函数的单调区间,因为z是x的一次函数，所以要求y2sin z的单调递增区间，,反思与感悟,用整体替换法求函数yAsin(x)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.,答案,解析,命题角度1 利用正弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (1)sin 196与c
3、os 156；,类型二 正弦函数单调性的应用,解答,解 sin 196sin(18016)sin 16， cos 156cos(18024)cos 24sin 66. 0sin 66，即sin 196cos 156.,解答,(2)cos 875与sin 980. 解 cos 875cos(720155)cos 155 cos(9065)sin 65， sin 980sin(720260)sin 260 sin(18080)sin 80， sin 65sin 80， sin 65sin 80， cos 875sin 980.,反思与感悟,用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一
4、单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.,解答,跟踪训练2 比较下列各组数的大小.,解答,命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围 例3 已知是正数，函数f(x)2sin x在区间 上是增函数，求的取值范围.,解答,反思与感悟,此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.,答案,解析,类型三 正弦函数的值域或最值,解答,例4 求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围，并说出最大值和最小值是什么. (1)ysin 2x；,函数ysin 2x取得最大值，最大值为1；,函数ysin 2x取得最小值，最小值为1.,解答
5、,(2)ysin x2； 解 由于函数ysin x与函数ysin x2同时取得最大值或同时取得最小值. 因此，当x2k (kZ)时，函数ysin x2取得最大值，最大值为3； 当x2k (kZ)时，函数ysin x2取得最小值，最小值为1.,解答,(3)y(sin x1)22. 解 设tsin x，则有y(t1)22，且t1，1，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了. 在闭区间1，1上，当t1时，|t1|最大， 函数y(t1)22，取得最大值(11)226.,函数y(sin x1)22取得最大值6. 在闭区间1，1上，当t1时，|t1|最小， 函数y(t1)22取得最小值，最
6、小值为2.,函数y(sin x1)22取得最小值2.,反思与感悟,一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、 反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质. 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： (1)形如ysin(x)的三角函数，令tx，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出ysin t的最值(值域). (2)形如yasin2xbsin xc(a0)的三角函数，可先设sin xt，将函数yasin2xbsin xc(a0)化为关于t的二次函数yat2btc(a0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
7、(3)对于形如yasin x的函数的最值还要注意对a的讨论.,解答,跟踪训练4 求函数ysin2xsin x1，xR的值域.,解 设tsin x，t1，1，f(t)t2t1.,1t1，当t1，即sin x1时，ymaxf(t)max3；,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,解析,2.下列不等式中成立的是,答案,2,3,4,5,1,解析,即sin 2cos 1.故选D.,答案,2,3,4,5,1,解析,4.求函数y32sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合.,解答,2,3,4,5,1,即x4k，kZ时，ymax5， 此时自变量x的集合为x|x4k，kZ；,即x4k，kZ时，ymin1， 此时自变量x的集合为x|x4k，kZ.,解答,2,3,4,5,1,5.求函数y2sin( 2x)，x(0，)的单调递增区间.,规律与方法,1.求函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的方法,2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用方法 将y表示成以sin x为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.,本课结束,
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