1、第二章,数列,1,知识网络 系统盘点，提炼主干,2,要点归纳 整合要点，诠释疑点,3,题型研修 突破重点，提升能力,章末复习提升,1.数列的概念及表示方法 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数. (2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法. (3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列.,2.求数列的通项 (1)数列前n项和Sn与通项an的关系：(2)当已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan
2、1).,(3)当已知数列an中，满足 f(n)，且f(1)f(2)f(n) 可求，则可用累积法求数列的通项an，常利用恒等式an(4)构造新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项. (5)归纳、猜想、证明法.,3.等差数列、等比数列的判断方法 (1)定义法：an1and(常数)an是等差数列； q(q为常数，q0)an是等比数列. (2)中项公式法：2an1anan2an是等差数列； anan2(an0)an是等比数列.,(3)通项公式法：ananb(a，b是常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列. (4)前n项和公式法：Snan
3、2bn(a，b为常数，nN) an是等差数列；Snaqna(a，q为常数，且a0，q0，q1，nN)an是等比数列. 4.求数列的前n项和的基本方法 (1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式；,(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.,题型一 方程的思想解数列问题 在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，
4、n，d(或q)，Sn，其中首项a1和公差d(或公比q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，d(或q)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量. 例1 设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S721，S1575，Tn为数列 的前n项和，求Tn的最大值.,解 设等差数列an的公差为d，则 Snna1 n(n1)d. S721，S1575，解得a19，d2. Snna1 d9n(n2n)10nn2.,nN，当n9，或n10时，Tn有最大值45.,跟踪演练1 记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.,题型二 转化与化归
5、思想求数列通项 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳猜想出通项，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出. 例2 在数列an中，a15且an2an12n1 (n2且nN). (1)求a2，a3的值；,解 a15，a22a122113，a32a223133.,则有2b2b1b3.,(2)是否存在实数，使得数列 为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.,解得1.,an(n1)2n1.,(3)求通项公式an.,跟踪演练2 设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN). (1)求
6、a2，a3的值； 解 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)， 当n1时，a1212； 当n2时，a12a2(a1a2)4，a24； 当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38. (2)求证：数列Sn2是等比数列.,证明 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)， 当n2时，a12a23a3(n1)an1 (n2)Sn12(n1). 得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12. Sn2Sn120，即Sn2Sn12， Sn22(Sn12). S1240，Sn120， 2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列.,题型三 函数
7、思想求解数列问题 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集，这一特殊性对问题结果可能造成影响. 例3 已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列an的通项公式；,解 由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd 2. d0，a11，d2. an2n1(nN).,又tZ，适合条件的t的最大值为8.,(1)求数列an的通项公式；,解 Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1
8、a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1),(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.,题型四 数列的交汇问题 数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处.它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点. 例4 已知单调递增的等比数列an满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项. (1)求数列an的通项公式；,解 设等比数列an的首项为a1，公比为q. 依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.,解 bn2nlog 2nn2n， Sn12222
9、323n2n， 2Sn122223324(n1)2nn2n1， ，得Sn222232nn2n1,(2)若bnanlog an，Snb1b2bn，对任意正整数n，Sn(nm)an10恒成立，试求m的取值范围.,由Sn(nm)an11，m1，即m的取值范围是(，1.,跟踪演练4 在数列an中，a12，an14an3n1， nN. (1)证明：数列ann是等比数列； 证明 由题设an14an3n1得 an1(n1)4(ann)，nN. 又a111，ann是首项为1，公比为4的等比数列.,(2)求数列an的前n项和Sn； 解 由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n，,(3)证明：不等式Sn14Sn对任意nN皆成立. 证明 对任意的nN.不等式Sn14Sn对任意nN皆成立.,课堂小结 1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题. 2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.,
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