1、第二章 2.2.1 等差数列,第1课时 等差数列的概念及通项公式,学习目标 1.理解等差数列的定义. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 等差数列的定义,思考 给出以下三个数列： (1)0，5，10，15，20； (2)4，4，4，4，； (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5. 它们有什么共同的特征？,答案 从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数.,梳理 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个 ，那么这
2、个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示.,2,常数,公差,知识点二 等差中项的概念,思考 观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2，4；(2)1，5；(3)a，b；(4)0，0.,知识点三 等差数列的通项公式,思考 对于等差数列2，4，6，8，有a2a12，即a2a12；a3a22，即a3a22a122；a4a32，即a4a32a132. 试猜想ana1( )2.,n1,梳理 若一个等差数列an，首项是a1，公差为d，则ana1 d.此公式可用叠加法证明.,(n1),思考辨析 判断正误 1.若一个数列从第2项起，每一项与它的前一
3、项的差都等于同一个常数，则这个数列是等差数列.( ) 2.等差数列an的单调性与公差d有关.( ) 3.根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项.( ) 4.若三个数a，b，c满足2bac，则a，b，c一定是等差数列.( ),题型探究,类型一 等差数列的概念,例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9，7，5，3，2n11，； (2)1，11，23，35，12n13，； (3)1，2，1，2，； (4)1，2，4，6，8，10，； (5)a，a，a，a，a，.,解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)是等差数列，(3)(4)不是等差数列.,解答,反思与感悟 判断一个数列是不是等差数列
4、，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an1an(n1，nN)是不是一个与n无关的常数.,跟踪训练1 数列an的通项公式an2n5，则此数列 A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列,答案,解析,解析 an1an2(n1)5(2n5)2， an是公差为2的等差数列.,类型二 等差中项,例2 在1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.,解 1，a，b，c，7成等差数列，,该数列为1，1，3，5，7.,解答,跟踪训练2 若m和2
5、n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.,解 由m和2n的等差中项为4，得m2n8. 又由2m和n的等差中项为5，得2mn10. 两式相加，得mn6.,解答,类型三 等差数列通项公式的求法及应用,命题角度1 基本量(a1，d，n) 例3 在等差数列an中，已知a612，a1836，求通项公式an.,解得d2，a12. an2(n1)22n.,解答,反思与感悟 把已知量都用基本量a1，d，n表示，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.,解答,跟踪训练3 已知等差数列an满足a2a3a418，a2a3a466.求数列an的通项公式.,解 a2a42a3， a2a3a43a31
6、8. a36，a2a412. 又a2a3a466，a2a411.,由a21，a411知，da3a25，a1a2d4， ana1(n1)d4(n1)55n9，nN. 由a211，a41知，da3a25，a1a2d16， ana1(n1)d16(n1)(5)5n21，nN. an5n9(nN)或an5n21(nN).,命题角度2 等差数列的实际应用 例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km (不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？,解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
7、km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元. 故可以建立一个等差数列an来计算车费. 令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n11， 此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元). 即需要支付车费23.2元.,解答,反思与感悟 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题.,跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ，5 km高度的气温是17.5 ，求2
8、 km，4 km，8 km高度的气温.,解 用an表示自下而上各高度气温组成的等差数列， 则a18.5，a517.5， 由a5a14d8.54d17.5，解得d6.5， an156.5n(nN). a22，a411，a837， 即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ，11 ，37 .,解答,达标检测,1.已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d为 A.2 B.3 C.2 D.3,1,2,3,4,答案,解析,解析 由等差数列的定义，得da2a1112.,2.已知在ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于 A.30 B.60 C.90 D.120,1,2,3,4,解析
9、 因为A，B，C成等差数列， 所以B是A，C的等差中项，则有AC2B， 又因为ABC180，所以3B180，从而B60.,答案,解析,3.已知数列an中，a13，anan13(n2)，则an .,解析 因为当n2时，anan13， 所以an是以a13为首项，d3为公差的等差数列. 所以ana1(n1)d33(n1)3n.,1,2,3,4,答案,解析,3n,解 a2a5(a1d)(a14d)2a15d4，,1,2,3,4,解答,规律与方法,1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法 (1)an1and(d为常数，nN)an是等差数列； (2)2an1anan2(nN)an是等差数列； (3)anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可. 2.由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.,
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