1、第二章 2.3 等比数列,2.3.2 等比数列的前n项和(二),学习目标 1.熟练应用等比数列的前n项和公式的有关性质解题. 2.会用错位相减法求和.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 等比数列的前n项和公式的函数特征,思考 若数列an的前n项和Sn2n1，那么数列an是不是等比数列？若数列an的前n项和Sn2n+11呢？,答案 当Sn2n1时，,当Sn2n+11时，,当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函数.,知识点二 等比数列的前n项和的性质,思考 若等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列吗？,答案 设an的
2、公比为q，则 Sna1a2an， S2nSnan1an2a2na1qna2qnanqnqnSn， S3nS2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)， Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，公比为qn.,梳理 等比数列an的前n项和的三个常用性质 (1)数列an为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列.,知识点三 错位相减法,思考 在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列an的前n项和Sna1a2an的？,答案 在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可.,梳理 如果数列an是等差数列，bn
3、是等比数列，求数列anbn的前n项和时，一般使用如下方法： Sna1b1a2b2anbn， qSna1b1qa2b2qanbnqa1b2a2b3anbn1， 得(1q)Sna1b1(a2a1)b2(a3a2)b3(anan1)bnanbn1,上述方法称为“错位相减法”.,思考辨析 判断正误 1.对于公比q1的等比数列an的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.( ) 2.当an为等差数列，bn为公比不是1的等比数列时，求数列 的前n项和，适用错位相减法.( ),题型探究,类型一 等比数列的前n项和公式的函数特征应用,例1 已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且不等于1的常数)，
4、则数列an A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.是等差数列或等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列,解析 当n2时，anSnSn1(a1)an1； 当n1时，a1a1，满足上式， an(a1)an1，nN.,答案,解析,(2)若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0， q0且q1，则an是等比数列.,跟踪训练1 若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t .,解析 显然q1，此时应有SnA(qn1)，,答案,解析,命题角度1 连续n项之和问题,证明,类型二 等比数列的前n项和的性质,证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q1时，Snna1，S2n2na1，
5、S3n3na1，,方法二 根据等比数列的性质SmnSmqmSn， 有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，,反思与感悟 处理等比数列的前n项和有关问题的常用方法： (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.,跟踪训练2 在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.,解 因为S2n2Sn，所以q1，,解答,命题角度2 奇偶项n项之和问题,解析 a2a4a6a8a1qa3qa5qa7qq(a1a3a5a7),答案,解析,反思与感悟 注意观
6、察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快.,跟踪训练3 设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则 .,解析 是首项为b2，公比为2的等比数列.,126,答案,解析,类型三 错位相减法求和,解答,反思与感悟 一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.,跟踪训练4 求和：Snx2x23x3nxn (x0).,当x1时，Snx2x23x3nxn， xSnx22x33x4(n1)xnnxn+1，,解答,达标检测,1,2,3,4,答案,解析,当n2时，anSnSn12x3n2，
7、 an是等比数列， n1时也应适合an2x3n2，,1,2,3,4,2.已知等比数列an的公比为2，且其前5项和为1，那么an的前10项和等于 A.31 B.33 C.35 D.37,解析 设an的公比为q，由题意，q2，a1a2a3a4a51， 则a6a7a8a9a10q5(a1a2a3a4a5)q52532， S1013233.,1,2,3,4,答案,解析,3.在等比数列中，已知a1a2a36，a2a3a43，则a3a4a5a6a7等于,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,4.在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3nk，则实数k .,解析 当n1时，a1S13k， 当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k)3n3n123n1. 由题意，知an为等比数列，所以a13k2， k1.,答案,解析,1,规律与方法,1.在利用等比数列的前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断. 2.等比数列前n项和中用到的数学思想： (1)分类讨论思想： 利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论.,
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