1、第二章 2.3 等比数列,2.3.2 等比数列的前n项和(一),学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 等比数列的前n项和公式,思考 对于S641248262263，用2乘以等式的两边可得2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?,答案 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，,梳理 设等比数列an的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得. Sna1a1qa1q2a1qn1. 则qSna1qa
2、1q2a1qn1a1qn. 由，得(1q)Sna1a1qn.,当q1时，由于a1a2an，所以Snna1. 结合通项公式可得等比数列的前n项和公式：,知识点二 等比数列的前n项和公式的特征,思考 要求等比数列前8项的和：,梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1) 一定不要忽略q1的情况；,(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn，知道其中任意三个，可求其余两个.,思考辨析 判断正误 1.求等比数列an的前n项和时可直接套用公式Sn 来求.( )2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Snna. ( ) 3.若某数列的前n项和公式
3、为Snaqna(a0，q0且q1，nN)，则此数列一定是等比数列.( ),题型探究,类型一 等比数列的前n项和公式的应用,命题角度1 前n项和公式的直接应用 例1 根据题干中的条件，求相应的等比数列an的前n项和Sn. (1)a13，q2，n6；,解 a13，q2，n6，,解答,解答,反思与感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q1是否成立.,跟踪训练1 若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q ；前n项和Sn .,解析 设等比数列的公比为q， a2a420，a3a540， 20q40，且a1qa1q320， 解得q2，且a12.,2,2n+12
4、,答案,解析,命题角度2 等比数列基本量的计算 例2 在等比数列an中，公比为q，前n项和为Sn.,解答,，得1q39，q2.,解答,反思与感悟 (1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.,跟踪训练2 (1)在等比数列an中，S230，S3155，求Sn.,解答,方法二 若q1，则S3S232， 而事实上，S3S2316，故q1.,(2)在等比数列an中，a12，S36，求a3和q.,解 由题意，得若q1，则S33a16，符合题意. 此时，q1，a3a12. 若q1，则由等比数列的前n项和公式，,解得q2. 此时，a3a1q22(2)
5、28. 综上所述，q1，a32或q2，a38.,解答,类型二 等比数列前n项和的实际应用,例3 某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加 . (1)求n年内旅游业的总收入；,解答,(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元.,大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元.,解答,反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本
6、利和.,跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？,解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，,热气球在前n分钟内上升的总高度为,故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.,解答,达标检测,1.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn等于,解析 当x1时，Snn；,1,2,3,4,答案,解析,解析 方法一 由等比数列的定义，,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,3.等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项的和是 A.179 B.211 C.2
7、43 D.275,答案,解析,1,2,3,4,4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为 .,解析 去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a. 1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151).,答案,解析,11a(1.151),规律与方法,1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况. 3.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和.,
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