1、第三章 不等式,3.4 不等式的实际应用,学习目标 1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题. 2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 不等式模型,思考 一般情况下，建筑民用住宅时，民用住宅商户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，如何研究住宅的采光条件是变好了还是变差了？,梳理 建立不等式模型解决实际问题的过程： (1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)； (2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题； (3)解决数学
2、问题； (4)回归实际问题，写出准确答案.,知识点二 常见的不等式模型,1.一元二次不等式模型 根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响. 2.均值不等式模型 根据题意抽象出的模型是(1)yx (a0)，(2)ab，ab中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a0，b0，以及等号成立的条件是否具备.,思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 一元二次不等式的实际应用,命题角度1 范围问题 例1 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策
3、.现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？,解答,解 设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元， 从中征收的金额为70xR%万元，其中x10010R. 由题意，得70(10010R)R%112， 整理，得R210R160. 因为360， 所以方程R210R160的两个实数根分别为R12，R28. 由二次函数yR210R16的图象， 得不等式的解集为R|2R8. 所以当2R8时，每年在此项经营中所收取附加税金
4、额不少于112万元.,反思与感悟 解有关不等式应用题的步骤 (1)选用合适的字母表示题中的未知数. (2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组). (3)解所列出的不等式(组). (4)结合问题的实际意义写出答案.,跟踪训练1 某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？,解答,解 如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系， 因为AB400，BAx30，,由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|
5、350，,整理得16x2160x3750， 解不等式，得3.75x6.25， A市受热带风暴影响的时间为6.253.752.5， 故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.,命题角度2 最值问题 例2 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险. (1)若f(0)10，g(0)20，试解释它
6、们的实际意义；,解 f(0)10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.,解答,解答,解 设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，,即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费.,反思与感悟 与最值相关的二次函数问题的解题方法 (1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过
7、配方求最值. (2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内，则最值在对称轴处取，若不在取值范围内，则根据函数的单调性确定在哪一个端点处取最值. (3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小.,跟踪训练2 已知不等式sin2x2asin xa22a20对一切xR恒成立，求实数a的取值范围.,解答,解 设f(x)sin2x2asin xa22a2， 则f(x)(sin xa)222a. 当a0显然成立，a0，解得a1时，f(x)在sin x1时取到最小值， 且f(x)mina24a3，由a24a30，解得a3， a3. 综上所述
8、，a的取值范围为(，1)(3，).,解答,例3 某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元. (1)仓库底面积S(m2)的最大允许值是多少？,类型二 均值不等式的实际应用,解 设铁栅长为x m，一侧砖墙长为y m， 则有Sxy. 由题意得40x245y20xy3 200.,S100. S的最大允许值是100 m2.,(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？,解 由(1)知取得最大值的条件是40x90y，而xy100， 由此求得x15， 即铁栅的长应是1
9、5 m.,解答,反思与感悟 (1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求.均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查. (2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视.在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性.,跟踪训练3 把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为 A.4 B.8 C.16 D.32,解析 设截成的两段铁丝长分别为x，16x，0x16，,故两个正方形面积之和的最小值为8，故选B.
10、,答案,解析,达标检测,1.某工厂第一年产量为A，第二年增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则,解析 由题意知A(1x)2A(1a)(1b)，,1,2,3,4,答案,解析,当且仅当1a1b，即ab时，取等号.,2.某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m和4 m的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为 m2.,648,答案,解析,1,2,3,4,3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这
11、两项费用之和最小，仓库应建在离车站 公里处.,解析 设仓库到车站距离为x公里，,5,即x5公里时，两项费用之和最小为8万元.,1,2,3,4,答案,解析,4.要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值.,1,2,3,4,解答,解 设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，ab9 000. 广告的高为a20，宽为2b25，其中a0，b0. 广告的面积S(a20)(2b25)2ab40b25a500,从而b75，即当a120，b75时，S取得最小值24 500， 故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm2.,1,2,3,4,规律与方法,1.解不等式实际应用题的解题思路,2.建立一元二次不等式模型求解实际问题 操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.,
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