1、章末复习,第一章 立体几何初步,学习目标 1.整合知识结构，形成知识网络、深化所学知识. 2.会画几何体的直观图，并能计算几何体的表面积和体积. 3.熟练掌握线线、线面、面面间的平行与垂直关系,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行. 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的. 这三种几何体都是多面体. (2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体.在研究它们的
2、结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面.,(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体. 2.空间几何体的直观图 斜二测画法为： 主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：画轴；画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x、y、z轴的线段；截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.,3.几何体的表面积和体积的有关计算 (1)常见几何体的侧面积和体积的计算公式,(2)求几何体体积常用技巧 等体积法；割补法.,4.平行关系 (1)基本性质4 平行于同一条直线的两条直线 .即如果直线ab，cb
3、，那么 . (2)直线与平面平行的判定与性质,平行,ac,不在一个平面,平行,平面内,lm,l,平行,相交,两平面的,l,交线平行,(3)平面与平面平行的判定 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 符号语言：a，b， ，a，b. 图形语言：如图所示.,abP,(4)平面与平面平行的性质定理 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言：，a， ab. 图形语言：如图所示.作用：证明两直线平行.,b,5.垂直关系 (1)直线与平面垂直的判定定理 定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直. 推论：如果
4、在两条 中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线与平面垂直的性质 性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的 一条直线垂直.,两条相交,平行直线,任意,性质2：如果两条直线 ，那么这两条直线平行. (3)面面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面互相垂直. (4)面面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在 垂直于 的直线垂直于另一个平面.,一条垂线,一个平面内,它们交线,垂直于同一个平面,6.共面与异面直线 (1)共面：空间中的 或 ，如果都在同一平面内，我们就说它们共面. (2)异面直线：既 又 的直线.,几个点,几条直线,不平
5、行,不相交,思考辨析 判断正误 1.菱形的直观图仍是菱形.( ) 2.简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) 3.夹在两平行平面的平行线段相等.( ),题型探究,例1 如图，从底面半径为2a，高为 的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.,类型一 空间几何体的表面积与体积,解答,反思与感悟 空间几何体的体积与表面积的计算方法 (1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解. (2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割
6、”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决.,(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题. (4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.,跟踪训练1 如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1AB1D1的高.,解 设三棱锥A1AB
7、1D1的高为h，,解答,类型二 空间中的平行问题,例2 如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点. 求证：(1)GE平面BB1D1D；,证明,证明 取B1D1中点O，连接GO，OB，,OBGE. OB平面BB1D1D，GE平面BB1D1D， GE平面BB1D1D.,(2)平面BDF平面B1D1H.,证明 由正方体性质得B1D1BD， B1D1平面BDF，BD平面BDF， B1D1平面BDF. 连接HB，D1F， 易证HBFD1是平行四边形，得HD1BF. HD1平面BDF，BF平面BDF， HD1平面BDF.B1D1HD1D1， 平面BD
8、F平面B1D1H.,证明,反思与感悟 (1)判断线线平行的方法 利用定义：证明线线共面且无公共点. 利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线. 利用线面平行的性质定理： a，a，bab. 利用面面平行的性质定理： ，a，bab. 利用线面垂直的性质定理： a，bab.,(2)判定线面平行的方法 利用定义：证明直线a与平面没有公共点，往往借助反证法. 利用直线和平面平行的判定定理： a，b，aba. 利用面面平行的性质的推广： ，aa.,(3)判定面面平行的方法 利用面面平行的定义：两个平面没有公共点. 利用面面平行的判定定理： a，b，abA，a，b. 垂直于同一条直线的两个平面平行，即
9、a，a. 平行于同一个平面的两个平面平行，即，.,跟踪训练2 如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN平面ABC.,证明,证明 M，N分别是EA与EC的中点，MNAC， 又AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC， DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC， N为EC中点，EC2BD，,四边形BCND为矩形， DNBC，又DN平面ABC，BC平面ABC， DN平面ABC，又MNDNN， 平面DMN平面ABC.,类型三 空间中的垂直关系,例3 如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AECD，又G，F分
10、别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折起，使得DEEC. (1)求证：AE平面CDE；,证明,证明 由已知得DEAE，AEEC. DEECE，DE，EC平面DCE， AE平面CDE.,(2)求证：FG平面BCD；,证明 取AB的中点H，连接GH，FH， GHBD，FHBC. GH平面BCD，BD平面BCD， GH平面BCD. 同理，FH平面BCD， 又GHFHH， 平面FHG平面BCD， GF平面FHG， GF平面BCD.,证明,(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由.,解答,解 取线段AE的中点R， DC的中点M，DB的中点S， 连接MS，RS，BR，DR，EM，,
11、四边形MERS是平行四边形， RSME. 在DEC中，EDEC，M是CD的中点， EMDC.,由(1)知AE平面CDE，AEBC， BC平面CDE. EM平面CDE，EMBC. BCCDC，EM平面BCD. EMRS，RS平面BCD. RS平面BDR， 平面BDR平面DCB.,反思与感悟 空间中垂直关系的判定方法 (1)判定线线垂直的方法 利用线面垂直的性质(若a，b，则ab). (2)判定线面垂直的方法 线面垂直定义(一般不易验证任意性). 线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa). 平行线垂直平面的传递性质(ab，ba). 面面垂直的性质(，l，a，ala). 面面平行的性质(a
12、，a). (3)面面垂直的判定方法 利用面面垂直的判定定理(a，a).,跟踪训练3 如图，在ABC中，ACBC ，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点. (1)求证：GF平面ABC；,证明,证明 如图，取BE的中点H，连接HF，GH.因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HGBC，HFDE. 又因为四边形ADEB为正方形， 所以DEAB，从而HFAB. 所以HF平面ABC，HG平面ABC. 又因为GHHFH， 所以平面HGF平面ABC，又GF平面HGF， 所以GF平面ABC.,(2)求证：平面EBC平面ACD；,证明 因为四边形ADEB为正方
13、形，所以EBAB. 又因为平面ABED平面ABC， 平面ABED平面ABCAB， 所以BE平面ABC，所以BEAC. 又因为CA2CB2AB2，所以ACBC. 又因为BEBCB， 所以AC平面BCE. 又因为AC平面ACD， 从而平面EBC平面ACD.,证明,(3)求几何体ADEBC的体积V.,解答,解 取AB的中点N，连接CN，因为ACBC，,又平面ABED平面ABC， 平面ABED平面ABCAB， 所以CN平面ABED. 因为CABED是四棱锥，,达标检测,答案,1,2,3,4,1.已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60 cm2，则此圆锥的体积为,5,解析,解析 圆锥的侧面积为rl10
14、r60，得r6.,解析 当l1l2，l2l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A错； l1l2，l2l3l1l3，B正确； 当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错； l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D错.,1,2,3,4,解析,答案,2.若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A.l1l2，l2l3l1l3 B.l1l2，l2l3l1l3 C.l1l2l3l1，l2，l3共面 D.l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面,5,答案,1,2,3,4,解析,答案,解析 选项A中当m，n时，m与
15、n可以平行、相交、异面； 选项B中满足条件的与可以平行，也可以相交； 选项C中，当，m时，m与可以垂直，也可以平行等. 故选项A、B、C均不正确.,3.设有不同的直线m，n和不同的平面，下列四个命题中，正确的是 A.若m，n，则mn B.若m，n，m，n，则 C.若，m，则m D.若，m，m，则m,5,1,2,3,4,解析,答案,4.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP 过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.,解析 MN平面AC，平面PMNQ平面ACPQ，,5,1,2,3,4,5
16、,5.如图，在棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA6，BC8，DF5. 求证：(1)直线PA平面DEF；,证明 因为D，E分别为棱PC，AC的中点， 所以DEPA. 又因为PA平面DEF，DE平面DEF， 所以直线PA平面DEF.,证明,(2)平面BDE平面ABC.,证明 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，,证明,又因为DF5，故DF2DE2EF2， 所以DEF90，即DEEF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC. 因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE平面ABC. 又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.,1,2,3,4,5,1.研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决. 另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.,规律与方法,2.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为,
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